Длинный стержень, подверженный действию сосредоточенной силы, приложенной посредине

220. Для того чтобы пояснить содержание предыдущего параграфа, рассмотрим балку на упругом основании, подверженную действию только одной сосредоточенной силы, приложенной посредине балки. Весом балки пренебрегаем. Основное уравнение этой задачи (вне точки приложения силы):

Это уравнение удовлетворяется решением каждого из следующих уравнений:

т. е. частные решения пропорциональны:

Общее решение уравнения (45)

Найдем выражения для производных у:

где постоянные интегрирования.

На конце балки, если она в нем соприкасается с основанием, или в другом сечении, в котором балка впервые соприкасается с основанием, перерезывающая сила и изгибающий момент должны исчезать, и мы, согласно (7) и (8), имеем:

Начало координат поместим в указанном сечении. Ось направим к середине балки. Пусть среднее сечение находится в точке Условия (I) удовлетворяются теперь при и из (47) мы имеем, что

Выражение для у принимает более простую форму

Угол наклона исчезает в среднем сечении и мы имеем:

Перерезывающая сила в этом сечении дается выражением:

221. Рассмотрим два случая, показанные на рис. и Если концы балки отделяются от основания, то при и мы видим, что в формуле должно быть нулем А тогда из (49):

Это может иметь место, например, при

Таким образом, мы видим, что концы стержня будут отделяться от основания только при

I — длина балки.

(b) Конец балки остается в соприкосновении с основанием. Тогда, согласно условию § 220, этому концу соответствует равная нулю абсцисса но у не обязательно равен нулю. Формулы (49) и (50) применимы к среднему сечению, а можно теперь приравнять

Положив приравняв перерезывающую силу в среднем (нагруженном) сечении где приложенная сила, мы из выражения (49) получим:

Рис. 72.

Отсюда мы можем сделать следующие заключения:

(а) Если то на длине а, по обе стороны от среднего сечения, балка соприкасается с упругим основанием. Значение а определяется условием:

Прогиб определяется формулой (48) с опущенным членом, содержащим А в виде множителя:

является средним нагруженным сечением). Из (50) мы также имеем:

что, согласно (54), равно

Перенеся начало координат в среднее сечение и используя (II), мы можем написать (I) в форме

вычисленное из этого выражения, равняется нулю в начале координат, т. е. в среднем сечении балки. Величина прогиба при равна:

(b) Если то вся балка соприкасается с основанием. Выражение (48) для среднего прогиба (при дает значение:

где, согласно (53),

Отсюда, как и раньше, положив равным получим:

При обращается в нуль, а принимает значение (56).

Примеры

31. (Camb. М. S. Т. 1934.) Балка постоянного поперечного сечения лежит на горизонтальной поверхности. Поверхность можно считать упругой. Концы балки закреплены так, что они вынуждены оставаться все время на одной и той же высоте и не могут поворачиваться. В неиагруженном состоянии балка соприкасается с поверхностью по всей своей свободной длине 21.

Показать, что прогиб в среднем сечении, вызванный приложением в этом же сечении сосредоточенной силы равен

где - давление, оказываемое поверхностью на единицу длины балки в сечении с прогибом - соответствующий момент инерции площади поперечного сечения балки.

32. (Camb. М. S. Т. 1930.) Для железнодорожной шпалы и балласта, на котором она покоится, Длина шпалы

Шпала подвергается действию сил в тонн, направленных вниз и приложенных в точках, расположенных на расстояниях 61 см от обоих ее концов. Выбрав за ось у вертикаль, проходящую через середину шпалы, записать общее выражение для ее прогиба, обращающего в нуль и в среднем сечении. Вывести отсюда, что в середине шпала подвергается действию изгибающего момента величины вращающего ее левую часть против часопой стрелки.

Для вычислений понадобятся следующие данные: