Постоянная перерезывающая сила

348. Остается рассмотреть те члены соотношений (8) и (9), в которых присутствуют постоянные А к В. Очевидно, что выражение

типично для обоих решений. Следовательно, в уравнениях (9) мы можем приравнять В нулю. Тогда уравнения (9) вместе с (IV) § 335 дадут:

Через обозначена постоянная интегрирования. Из уравнения (7) мы получим:

349. В силу (3) продольное напряжение, соответствующее удлинению дается формулой

Если оси являются главными осями поперечного сечения, то, как и раньше, мы можем показать, что результирующее усилие, соответствующее представляет собой момент относительно оси Величина этого момента:

Через обозначен геометрический момент инерции площади поперечного сечения относительно оси

Из законов статики следует, что этот изгибающий момент должен сопровождаться постоянной перерезывающей силой в направлении Ее величина:

Перерезывающую силу можно считать следствием действия поперечной силы приложенной на торце в направлении Распределение поперечной силы по торцу нужно определить. Найдем А из опустив индекс у момента инерции подставим его в выражения и тогда получим:

Уравнения (25) и (26) примут вид:

350. При равном нулю, уравнения (27) и (28) тождественны с теми, которые фигурировали в «задаче кручения» (§ 336). Очевидно, что граничное условие, которому должны удовлетворять то же, что и раньше, т. е. (13). Следовательно,

решение и в этом случае будет иметь форму (10). Член с в правой части первого уравнения (28) можно учесть, прибавив его к Таким образом мы можем написать, что

После подстановки этих выражений во второе уравнение (28) мы получим:

Граничное условие (13) дает равенство:

Уравнение (30) показывает, что не является гармонической функцией двух переменных, как то было для «функции кручения» (§ 337). Но если мы положим, что

то найдем, что х во всех точках поперечного сечения должна удовлетворять уравнению

а в каждой точке контура поперечного сечения — условию

Задача определения гармонической функции двух переменных для любого данного контура поперечного сечения при граничном условии (34) называется задачей изгиба для этого контура.

361. Если функция X найдена, то решение все еще содержит неопределенную постоянную Это дает нам возможность выбрать линию действия результирующей перерезывающей силы так, чтобы она совпадала с какой-нибудь заданной прямой, параллельной Действительно, напряжения даются выражениями:

Если данная линия действия перерезывающей силы проходит, например, через центр тяжести поперечного сечения, то величину можно подобрать так, чтобы полный крутящий момент обратился в нуль. Из (35) мы имеем:

Отсюда и определится

Легко проверить, что найденное решение удовлетворяет требованиям задачи относительно действующей результирующей силы.

Согласно второму из уравнений (28) мы имеем:

Последнее равенство имеет место в силу граничного условия (13). Аналогичным способом мы можем показать, что другие составляющие усилия обращаются в нуль.

362. «Задача изгиба» (§ 350) является трудной задачей. В граничное условие (34) входят очень сложные выражения, и поэтому мало вероятно, чтобы метод решения, аналогичный решению «задачи кручения» в § 341, привел к полезным результатам. Мы говорим сейчас о методе, в котором заранее задается гармоническая функция двух переменныхч На этом мы закончим пока общее изложение задачи.

Рассмотрим еще только задачу для частного вида контура поперечного сечения. Согласно одному из условий нашей задачи, компонент напряжения К, действующий по всей площади поперечного сечения, не должен давать результирующей. Поэтому естественно исследовать вопрос о том, можно ли получить решение в предположении, что во всех точках поперечного сечения

Приняв это предположение, мы, согласно второму из равенства (29), получаем:

откуда Теперь из (30) мы имеем:

И окончательно:

и из первого равенства (29)

в этих формулах являются постоянными интегрирования.

Граничное условие (13) в силу имеет вид:

Оно удовлетворяется или при или

В первом случае в качестве возможного контура мы получаем прямые, параллельные оси х, а во втором, согласно формуле кривую, уравнение которой:

Таким образом наше предположение справедливо для поперечного сечения, имеющего прямолинейные стороны (см. рис. 98).

Выбрав подходящим образом начало координат, мы можем записать уравнение в такой форме:

Рис. 98.

Отсюда видно, что криволинейные части контура являются двумя ветвями гиперболы, эксцентриситет которой зависит от о. Для касательного напряжения имеем выражения:

Последнее равенство имеет место согласно (37), если являются значениями х на криволинейной части контура. Если прямолинейные стороны контура расположены симметрично относительно оси х, то результирующее усилие будет проходить через линию центров тяжести поперечных сечений, т. е. будет обращаться в нуль. Для компонента напряжения как и раньше, имеем выражение

Если прямолинейные стороны контура поперечного сечения расположены симметрично относительно оси и если расстояние между ними малб, то искривление верхней и нижней частей контура будет неощутимо. Таким образом наше частное решение подтверждает результаты, полученные в главе VII, § 226 для высокого и узкого прямоугольного сечения.

Примеры

2. Проверить, что функции

являются решением задачи изгиба для цилиндра круглого поперечного сечения .

3. Проверить, что функции

решают задачу изгиба для полого цилиндра, поперечное сечение которою ограничено концентрическими окружностями радиусов .