Консоль с узким прямоугольным поперечным сечением под действием равномерно распределенной нагрузки

413. В качестве первого примера мы попытаемся найти строгое решение задачи, помещенной под № 2 в таблице стандартных случаев прогибов балок (стр. 249). Для № 1 той же таблицы точное решение было получено в §§ 348 — 352 главы XI, когда мы излагали «полуобратный» метод Сен-Венана. Действие равномерно распределенной нагрузки мы пока изучали только приближенными методами.

Если поперечное сечение консоли представляет собой прямоугольник с малой, по отношению к высоте шириной то консоль, нагруженная так, как показано на рис. 106, может рассматриваться как пример плоского напряженного состояния. Тем не менее мы на время, по причинам, которые обнаружатся позже, будем рассматривать ее как пример плоской деформации. Оси возьмем в вертикальной плоскости симметрии так, как показано на рисунке. Нам нужно удовлетворить следующим краевым условиям:

414. Из соображений статики вытекает, что результирующая перерезывающей силы в каком-нибудь поперечном сечении (силы, вызванной будет пропорциональна х расстоянию этого сечения от одного из концов. Поэтому мы попробуем удовлетворить нашим условиям, положив

Рис. 106.

Проинтегрировав, получим:

где и 5 зависят только от у. Проинтегрировав еще раз, имеем:

где С зависит только от х. Следовательно, выражение

согласно (25), должен обращаться в нуль при т. е. производная не зависящая от у, не может зависеть и от

Таким образом, обозначив через постоянную, имеем

Из (III) вытекает, что:

Функция X должна удовлетворять основному уравнению (23), следовательно, при всех значениях х к у должно выполняться уравнение

откуда:

415. Первое из уравнений (VI) показывает, что А должно зависеть от у в степени не выше второй. Воспользовавшись принятым соотношением (I), мы в силу того, что, согласно (25), должен обращаться в нуль при получим для следующее выражение:

где через обозначена постоянная интегрирования. Теперь из второго уравнения (VI) получим:

где через и обозначены постоянные интегрирования. Из (II) вытекает, что:

416. Итак, мы получили функцию напряжений удовлетворяющую основному уравнению (23) и дающую выражения (26) для компонентов напряжения, которые удовлетворяют некоторым, но не всем, граничным условиям (25). Из условий, наложенных на удовлетворены все. Условия, наложенные на удовлетворятся, если мы положим:

Оставшееся условие, наложенное на в сечении требует, чтобы

Очевидно, что последнему условию нельзя удовлетворить. Если так, то наше исходное предположение (I) не является правильным. Компонентам напряжения (26) нельзя дать такие значения, при которых сечение было бы свободно от напряжений. Однако их можно подобрать так, что нормальные напряжения в этом сечении будут иметь равные нулю результирующие силу и момент. На самом деле нормальные напряжения не будут давать результирующей силы в сечении когда и результирующего момента, когда Первое условие будет удовлетворено, если

а второе, если

Следовательно, должно быть:

Воспользовавшись мы из выражений (26), получим:

Эти компоненты напряжений, согласно (21), соответствуют, что легко проверить, следующей функции напряжений:

Мы заметим, что члены в содержащие х и являющиеся следствием изгибающего момента, линейны относительно у. Это согласуется с нашей приближенной теорией изгиба (гл. VII, § 222). Вместе с тем члены, не зависящие от х, не удовлетворяют этому условию Распределение касательного напряжения по поперечному сечению то же, что и найденное нами другими методами в § 226 главы VII.