Касательное напряжение, сдвиг и «модуль сдвига»

119. Вернемся к уравнениям (3) и примем, что

Рис. 38.

Тогда имеем:

Видно, что в этом случае плоская система напряжений соответствует плоской системе деформаций.

Характер деформации будет очевиден, если мы возьмем первоначально кубический элемент объема [рис. 38 (а)]. После деформации он примет форму, показанную (при значительном преувеличении деформации) на рис. Если I — длина каждой стороны квадратной грани в недеформированной конфигурации, то длина в деформированной

конфигурации будет а длина Следовательно,

Пренебрегая, как и раньше, по сравнению с вспоминая, что мы с точностью до величин первого порядка получим

так как согласно (11). Откуда видно, что при рассматриваемой теперь деформации длина диагонали не изменяется. Аналогичное доказательство показывает, что также не изменяется длина другой диагонали Поэтому длины сторон внутреннего квадрата образованного соединением средних точек сторон остаются прежними.

Однако углы квадрата при этой деформации изменятся. Угол равен удвоенному углу а для него:

Следовательно

на рис. 38 (a) прямой и мы видим, что деформация рассматриваемого типа вызывает уменьшение угла на величину [Последнее равенство достаточно точно, ибо, согласно весьма

По формуле или, согласно первому

120. Теперь изучим характер напряженного состояния, вызванного этой десормацией во внутреннем квадрате На рис. 39 в перспективе изображена треугольная призма

являющаяся частью внешнего кубика рис. 38 (а). Площадь ее грани равна ой грани, согласно нашему предположению, действует сжимающее напряжение величины Следовательно, по этой грани в направлении, параллельном действует результирующая сила величины Аналогичные соображения показывают, что на грани в направлении, параллельном действует сила той же величины. Очевидно, что результирующая этих двух сил имеет величину Она приложена в середине наклонной грани и действует в направлении, параллельном

Рис. 39.

Треугольная призма находится в равновесии и, следовательно, рассматриваемая сила, подобно тому как это происходит в случае двух соприкасающихся шероховатых поверхностей, должна уравновешиваться усилием, возникающим на плоскости Другими словами, сила передается внутреннему кубику [рис. 38 (а)] через касательное усилие или напряжение, интенсивность которого (так как площадь равна равна величине Если мы аналогично рассмотрим другие грани кубика (рис. 38), то увидим, что нагрузки, действующие на его гранях, будут как раз теми, которые изображены на рис. 40 (а). Касательные напряжения на этом рисунке обозначены через имеют интенсивность, равную

121. Деформированный кубик показан на рис. Угол к сильно преувеличен. как по интенсивности, то мы можем написать (12) в виде

где

Таким образом, мы видим, что срезывающее или касательное напряжение вызывает относительное угловое перемещение граней, на которые оно действует. Такую деформацию мы называем угловой деформацией или сдвигом и измеряем ее углом у, выраженным в радианной мере. Из (13) видно, что касательное напряжение и сдвиг связаны упругой постоянной С, которую мы назовем модулем сдвига. Модуль сдвига выражается через и с помощью соотношения (14).

Рис. 40.

122. Вернемся к (5). Подставим в него (10) и для удельной упругой энергии деформации в случае простого сдвига будем иметь:

или, согласно результатам предшествующего параграфа,