ГЛАВА III. ТЕЛА С «НАЧАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ». ВТОРАЯ ТЕОРЕМА КАСТИЛИАНО И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА

Пример тела с «начальными напряжениями»

74. До сих пор мы предполагали, что упругая энергия деформации в теле запасается только тогда, когда на него действуют внешние силы. Если же к телу не приложены внешние силы, то оно не запасает упругой энергии. Теперь мы рассмотрим другой случай. Пусть наше тело имеет начальные напряжения в том смысле, что оно обладает запасом упругой энергии и тогда, когда внешние силы на него действуют.

Рис. 27.

Эта энергия может быть обнаружена в теле, еслн тело определенным образом разрезать.

Рассмотрим, например, случай, данный на рис. 27. В прямую трубу А, закрытую с обоих концов жесткими крышками помещен прямой стержень В. Длина стержня В несколько меньше длины трубы. Предположим, что труба А приложением сжимающей силы укорачивается до тех пор, пока крышки не соприкоснутся с концами внутреннего стержня. Соприкоснувшиеся поверхности жестко соединяются, а сжимающая сила, действовавшая на убирается. Очевидно, А будет стремиться удлиниться так, чтобы освободиться от сжатия, но этому стремлению к удлинению

будет противостоять растяжение, вызываемое в В. При отсутствии внешних сил равновесие наступит тогда, когда сила сжатия в и сила растяжения в В будут иметь одну и ту же величину

76. Величина силы определяется из дополнительного условия, которое должно иметь место в окончательной конфигурации. Так, если X обозначает ту величину, на которую длина А превосходит длину В, когда обе детали недеформированы, то это условие гласит:

Удлинение В будет

где коэффициент влияния, связывающий силу растяжения и удлинение стержня В (ср. § 37 главы II). Таким же образом, если коэффициент влияния для силы растяжения и удлинения трубы А, то укорочение А от силы сжатия будет Следовательно, условие (I) можно записать в форме

Если детали из однородного материала и имеют постоянную площадь поперечного сечения, то в соответствии с (3) главы II мы можем написать

Если площадь поперечного сечения изменяется по длине, то согласно (5) той же главы,

где - длины площади их поперечных сечений, модуль Юнга материала модуль

Юнга материала В. Таким образом, можно определить величины Яд, и найти из формулы (1).

76. Основные условия нашей задачи весьма ясно могут быть изображены на диаграмме (рис. 28). Представим себе, что недеформированные труба А и стержень В соединены между собой на одной стороне, тогда на другой стороне конец А находится от конца В на расстоянии

Рис. 28.

Пусть на нашей диаграмме представляет собой это расстояние. Соотношение между силой растяжения и удлинением стержня В (согласно закону Гука) изображается прямой Отношение дает коэффициент влияния а.

Аналогично соотношение между силой сжатия и укорочением стержня А представляется прямой Отношение дает коэффициент влияния Если и пересекаются в точке то ордината дает, очевидно, величину (одинаковую для трубы А и стержня В). Условие (1) удовлетворяется. представляет собой удлинение укорочение А в окончательной конфигурации.

Упругая энергия деформации, запасенная в В силой растяжения согласно (II), будет

На диаграмме эта величина изобразится площадью треугольника Аналогично упругая энергия деформации, запасенная в А, равняется

и изображается на диаграмме площадью треугольника Таким образом, полная упругая энергия, запасенная в составном теле при наличии в нем начальных напряжений, полученных описанным путем, будет равна

На диаграмме эта величина изображается площадью Очевидно, что начальная упругая энергия, запасенная в нашей системе, будет возвращена, если мы разрушим связь между на одном из концов.