ЗАДАЧИ С ЧИСТО РАДИАЛЬНЫМИ СМЕЩЕНИЯМИ

354. Для того чтобы иллюстрировать прямые методы решения общих уравнений, мы исследуем те типы деформации, которые в каждой точке состоят из чисто радиальных смепхений. При этом очевидно, что концентрические до деформации сферы остаются концентрическими сферами и после деформации. Ясно, что деформация такого рода будет происходить в сферической оболочке, подверженной внутреннему давлению. Мы увидим, что наша теория включает в себя некоторые из форм «нормальных колебаний» (§ 212) изотроп ного упругого шара,

Вывод основного уравнения

355. Начнем с того, что выведем общие уравнения движения. Будем предполагать, что массовые силы, если они вообще действуют, являются чисто радиальными и изменяются только в зависимости от расстояния до центра симметрии. Начало координат возьмем в этом центре и обозначим через радиальное расстояние. Пусть на расстоянии от начала массовые силы имеют интенсивность Тогда, компоненты массовой силы по направлениям будут:

Через и обозначим результирующее (радиальное) смещение на расстоянии от центра. Составляющие смещения будут:

где

Ясно, что объемное расширение будет функцией только расстояния и мы можем написать:

Очевидно, что смещения рассматриваемого типа не включают вращения, поэтому мы можем взять уравнения движения в форме (18) главы X, опустив члены с

После этого упрощения первое из уравнений движения (18) главы X, а именно

примет вид:

Второе и третье из тех же уравнений приведутся к виду, который отличается от (V) только заменой х соответственно на Таким образом все три уравнения сведутся к одному:

Для того чтобы выразить как функцию мы заметим, что радиальные и тангенциальные направления благодаря симметрии являются главными направлениями деформации. Радиальное удлинение как обычно, равно и сопровождается двумя равными тангенциальными или кольцевыми удлинениями Сферическая поверхнэсть радиуса до деформации становится после деформации сферической поверхностью радиуса Следовательно, каждое кольцевое удлинение равняется

Для величины объемного расширения имеем формулу:

Подставив это выражение в (40), получим уравнение:

Это уравнение определяет смещение при деформации любой системы, обладающей центральной симметрией.

366. С другой стороны, мы можем вывести уравнение (41) из уравнений движения в компонентах напряжения. Для этого в последние нужно подставить компоненты напряжений, как функции радиального смещения. Соображения симметрии показывают, что касательные напряжения не могут действовать на плоскостях, проходящих через начало О и на сферических поверхностях, имеющих центр в точке О. Таким образом, главными напряжениями являются радиальное напряжение и тангенциальное напряжение интенсивность которого одна и та же во всех направлениях,

Рассмотрим движение в радиальном направлении некоторого элементарного объема, ограниченного двумя парами радиальных плоскостей и двумя сферическими поверхностями радиусов рис. 99). Уравнение движения этого элемента в радиальном направлении будет:

Оно принимает вид уравнений (40) и (41) после подстановки в него ниже написанных выражений для и