Вывод основного уравнения вариационным методом из энергетического соотношения

492. Прежде чем перейти к задачам устойчивости других упругих систем, сделаем еще одно замечание. В § 480 из нашего основного уравнения (I) мы получили уравнение энергии (32). Задача станет физически более ясной, если мы сделаем наоборот, т. е. выведем основное уравнение из уравнения энергии.

В §§ 480 — 481 мы видели, что уравнение (32), имеющее

может быть истолковано как условие того, что полная потенциальная энергия системы (упругий стержень нагрузка) при изгибе не изменяется. Мы имеем дело с частным случаем общей теоремы механики, указанной в § 19 главы Теорема гласит, что полная потенциальная энергия любой системы имеет стационарное значение, когда система находится в конфигурации равновесия. Если меньше, чем наименьшее из чисел, удовлетворяющих равенству (33) и соответствующих граничным условиям, наложенным на у, то выражение, стоящее в левой части (45), будет положительным для всех форм удовлетворяющих этим условиям. Следовательно, только прямолинейная форма будет являться конфигурацией минимальной потенциальной энергии, т. е. только она будет конфигурацией устойчивого равновесия. С другой стороны, если выражение (45) будет отрицательным, что возможно,

когда достаточно велико, то прямолинейная форма будет являться конфигурацией неустойчивого равновесия. Если у достаточно мал, то интегралы, входящие в (45), представляют собой две формы потенциальной энергии. В силу этого при всех наших выводах мы предполагаем, что у мал.

Теперь рассмотрим промежуточное состояние, для которого равно наименьшему «критическому» значению Тогда прямолинейная форма не будет ни конфигурацией устойчивого равновесия, ни конфигурацией неустойчивого равновесия. Она будет конфигурацией безразличного равновесия. Следовательно, для у можно найти такую форму («первую форму продольного изгиба»), что определяемая ею изогнутая конфигурация также будет конфигурацией равновесия. Общая теорема механики требует, чтобы полная потенциальная энергия, соответствующая этой конфигурации, имела стационарное значение. Следовательно, левая часть выражения (45) должна обращаться в нуль, когда у дано любое бесконечно малое приращение.

493. Таким образом, если у представляет собой форму продольного изгиба или конфигурацию безразличного равновесия, то должно удовлетворяться не только равенство (45), но и следующее:

где является любой, бесконечно малой по величине по сравнению с у функцией от х, удовлетворяющей граничным условиям. Вычитая (45) из (46) и пренебрегая членами второго порядка малости по отношению к мы будем иметь

Проинтегрировав по частям, получим

Величина в квадратных скобках после подстановки пределов обратится в нуль, так как при каждом из пределов либо у либо равны нулю. Условие (47) записывается в следующей форме:

Оно должно удовлетворяться при всех допустимых формах

Функция совершенно произвольна и поэтому в каждой точке интервала должно равняться нулю. Мы вывели основное уравнение (I). Метод, которым мы пользовались при выводе основного уравнения, известен под названием вариационного метода.