Обобщение теорем

31. Теперь, после того как дана более широкая интерпретация нашим теоремам, нам осталось рассмотреть значение «коэффициентов влияния» (§ 4). Пусть представляет собой момент, а -сосредоточенную силу, тогда в первом из (9) 8, является поворотом в точке приложения по направлению И легко видеть, что есть поворот вызванный единичным моментом действующим изолированно.

представляет собой поворот вызванный единичной силой действующей изолированно. Если также является моментом, то а есть поворот в точке приложения по направлению который вызывается единичным моментом

Во второй формуле (9) 8, (так как оно «соответствует» представляет собой действительное перемещение точки 2, в которой приложена Мы видим, что а есть перемещение 8,, вызванное единичным моментом действующим изолированно.

имеет прежнее значение и т. д.

Поэтому равенствам (14) может быть дана следующая новая интерпретация:

Поворот в точке приложения по направлению вызванный единичной силой действующей в 2, по величине равен перемещению в точке приложения по направлению вызванному единичным моментом

Конечно, здесь предполагается соответствующий выбор единиц измерения. Так, когда единицы для и , т. е. для

сил и длины выбраны, мы должны в качестве взять две единичные в нашей системе единиц измерения силы, действующие в противоположных направлениях по прямым, удаленным друг от друга на единичное в нашей системе единиц измерения расстояние, т. е. пару сил с единичным моментом.

Случаи, в которых представляет собой «растягивающее усилие» (§ 29) или «усилие», состоящее из изгибающих или крутящих моментов (§ 30), рассматриваются аналогично.

32. Определив так обобщенные значения «коэффициентов влияния», мы без труда сможем по-новому интерпретировать уравнение (17), т. е. теорему взаимности, и выражение для полной упругой энергии в форме (19). Так, если представляет собой приложенный момент, то в теореме Кастилиано (§ 16) первое из равенств (20) устанавливает, что частная производная по этому моменту дает «соответствующий» поворот. В частности, если является моментом, возникающим в связи, препятствующей повороту, то мы будем иметь

Теорему, взаимную с первой теоремой Кастилиано (§ 18), выраженную соотношениями (22), можно интерпретировать таким же образом.

При изучении «флаттера» крыла самолета, т. е. некоторых незатухающих колебаний крыла, происходящих вследствие действия аэродинамических сил, удобно в поперечном сечении крыла различать некоторые точки, обладающие характерными свойствами. Эти точки называются «центром изгиба» и «центром кручения» поперечного сечения крыла самолета. На рис. 9 представлена половина крыла, заделанная в основную конструкцию самолета. Обратившись к этому рисунку, читатель увидит, что вертикальная сила, приложенная к заштрихованному сечению в точке А, стремится вращать это сечение против часовой стрелки, а та же сила, приложенная в точке В, вращает его по часовой стрелке. Где-то между (скажем в С) имеется точка, в которой можно приложить нагрузку, не вызывая вращения крыла. Эта точка называется центром изгиба. Если к заштрихованному сечению приложен вращающий момент, то сечение будет вращаться как целое, и только одиа точка («мгновенный центр» вращения) останется в покое. Эта точка называется центром кручения

Если дальний конец крыла (см. рис. 9) удерживается жесткими связями, так что точки приложения реакций связей не перемещаются, то мы сразу можем показать, что центр изгиба каждого сечения совпадает с центром кручения. Обозначим вращающий момент через а вертикальную силу, приложенную в центре изгиба, через тогда должно представлять собой поворот сечения, а — перемещение центра изгиба. По определению не зависит от так что Следовательно, согласно не зависит от

Рис. 9.

Другими словами, точка приложения (т. е. центр изгиба) совпадает с центром кручения. Жесткость связей существенна при доказательстве, так как реакции связей зависят от таким образом, если в связях имеются нераввые нулю перемещения, то полная работа не будет измеряться, как выше, произведениями и

Пример

4. (Oxford F. Е. Е. S. 1934.) На горизонтальную консоль, жесткость которой при изгибе меняется по длине, действует вращающий левую часть консоли против часовой стрелки изгибающий момент прилаженный на свободном конце. Найдена кривая прогиба. Она имеет вид где X — постоянная, х измеряется от заделанного конца, а общая длина балки.

Чему будет равен дополнительный угол наклона касательной на свободном конце, вызываемый грузом приложенным в середине балки?