Соотношения между напряжениями и деформациями в общем случае

127. В §§ 119—121 были изучены касательные напряжения и деформации сдвига. Еще раньше мы рассматривали нормальные напряжения. Если на трех парах граней прямоугольного параллелепипеда, принадлежащего телу, действуют касательные напряжения вместе с нормальными (рис. 37), то наш параллелепипед будет находиться в наиболее общем напряженном состоянии. Это напряженное состояние подчинено единственному условию: напряжение должно быть равномерно распределено по площади каждой грани. Эффект воздействия такой нагрузки на параллелепипед можно получить по принципу суперпозиции. Ребра параллелепипеда удлиняются на величины, данные формулами (3), а каждый из трех первоначально прямых углов между прилегающими гранями изменяется на «угол сдвига». Таким образом деформация определяется шестью величинами, а именно: тремя удлинениями и тремя величинами «сдвига» (§ 121)

128. Напряженное состояние определяется тоже шестью величинами, а именно: тремя нормальными напряжениями и тремя касательными напряжениями вида, изображенного на рис. 40 (а). Против этого положения сразу же хочется возразить, так как нет причин думать, что в случае существует равенство между касательными напряжениями, действующими на перпендикулярных гранях. В частном случае, рассмотренном в §§ 119—121, такое равенство было установлено.

Но если (как мы предположили) каждая составляющая напряжения распределена по грани, на которую она действует равномерно, то, основываясь на общих положениях механики, мы можем показать, что это равенство имеет место всегда.

Для доказательства рассмотрим кубик материала, показанный на рис. 41.

Каждое напряжение имеет постоянную интенсивность и поэтому его результирующая (интенсивность, умноженная на площадь грани) будет действовать в центре соответствующей прямоугольной грани. На рис. 41(a) стрелками изображены эти результирующие силы, из которых три связаны с какой-нибудь одной из шести граней. Пусть будут

центрами двзх противоположных граней. Из рис. 41 (а) видно, что только четыре силы, изображенные жирными стрелками, стремятся повернуть кубик около оси Линии действия других сил илипроходят через ось или параллельны ей.

Таким образом, рассматривая поворот кубика около мы можем ограничиться только четырьмя силами, показанными на рис. Пусть интенсивность касательного напряжения на верхней и нижней гранях будет интенсивность касательного напряжения на двух боковых гранях —

Рис. 41.

Тогда соответствующие результирующие силы имеют значения что показано на рис. Моменты этих сил относительно оси будут: (направлен по часовой стрелке) и (направлен против часовой стрелки). Результирующий вращающий момент равен и направлен по часовой стрелке.

Мы предположили, что касательное напряжение имеет равную интенсивность на двух противоположных гранях. Это вполне справедливо, если размеры кубика достаточно малы. И вообще, если кубик мал, то мы всегда можем считать, что напряжения на гранях равномерно распределены и что плотность кубика постоянна. Итак, если кубик достаточно мал, то его масса равна а момент инерции относительно оси равен Угловое ускорение кубика при его вращении около прямой проходящей через его центр тяжести, будет иметь величину

Отсюда видно, что угловое ускорение, если только не является малой величиной по крайней мере порядка а, при беспредельном уменьшении размеров кубика будет стремиться к бесконечности. Если кубик составляет часть непрерывного материала, то независимо от того, находится ли материал в равновесии или в движении под действием рассматривае мого напряжения, полученный нами вывод недопустим. Мы заключаем, что во всех случаях должно быть касательное напряжение на двух перпендикулярных гранях должно всегда иметь одинаковые интенсивности. В специальном случае (рис. 40) это было установлено раньше.

Вернувшись к § 127, мы можем теперь утверждать, что наиболее общий случай деформации включает три удлинения, связанные с соответствующими нормальными напряжениями формулами (3) и три «сдвига», связанные с соответствующими касательными напряжениями выражениями типа (13). Каждое касательное напряжение вызывает соответствующий ему сдвиг и не вызывает никаких других деформаций, напротив, каждое нормальное напряжение, как мы видели в §113, вызывает деформации во всех трех направлениях.

Дальнейшее исследование общего случая мы отложим до тех пор, пока не разовьем более полные теории напряжений и деформаций. Сейчас рассмотрим важное следствие из теоремы, установленной в этом параграфе.