«Метод переменного параметра»

526. В § 523 мы получили приближение (51), взяв для форму кривой статического прогиба консоли постоянного поперечного сечения под равномерно распределенной нагрузкой. Мы также можем использовать кривую статического прогиба для сосредоточенной силы, приложенной на расстоянии а от заделанного конца. Тогда, так как любая полученная таким образом оценка будет обязательно превышать истинную величину, мы можем выбрать а так, чтобы получающееся при этом выражение для имело минимальное значение.

Такой способ можно назвать «методом переменного параметра». Этот метод имеет общее применение. Им, повидимому, начали пользоваться после того, как Рэлей применил его к той задаче, которую мы сейчас рассмотрим. Мы не будем ограничивать полностью принимаемую нами форму прогиба и включим в нее одну или большее число произвольных постоянных, которые затем подберем так, чтобы получившееся значение для было минимальным, т. е. чтобы оценка была как можно ближе к истинному значению.

527. Кривая прогиба консоли постоянного поперечного сечения длины а, заделанной на одном конце и нагруженной сосредоточенной силой на другом, определяется уравнением

где А — постоянная. Угол наклона и прогиб в сечении будут

Следовательно, кривая прогиба в интервале для консоли длины нагруженной сосредоточенной силой в сечении имеет вид

где А — прежняя постоянная.

Вычислим интегралы, входящие в формулу (17), с помощью которой мы обычно получаем оценку для В силу того, что обращается в нуль при мы имеем

Для оценки получнм следующее выражение:

где через обозначено отношение

528. Нам нужно в интервале найти минимальное значение выражения (63), т. е. максимальное значение величины

Примерные вычисления дают следующие приближенные значения:

Отсюда мы получим, что максимальное значение соответствует значению приближенно равному 0,75, что дает

Подставив это значение в знаменатель выражения (63), мы, наконец, получим оценку

которая, по сравнению с точной формулой (49), дает ошибку приблизительно только в