Теорема взаимности

12. Так же, как в § 10, мы можем показать, что

В силу этих соотношений число независимых постоянных в выражениях (9) сильно уменьшается.

Пусть перемещения, которые вызываются в точках силами приложенными в тех же точках и в тех же направлениях, что и Перемещения, соответствующие обозначим Тогда, используя соотношения (15), мы из (9) имеем:

Симметрия по отношению к к выражения в правой части (16) показывает, что эта величина также равна

Таким образом мы получаем равенство:

которое можно сформулировать следующим образом: силы первой системы действуя на «соответствующих» перемещениях, вызванных второй системой производят ту же работу, что и силы второй системы, действуя на «соответствующих» перемещениях, вызванных первой системой.

Это «теорема взаимности» Максвелла, Бетти и Рэлея. Она является обобщением соотношений (14) и (15), обычно известных как «соотношения взаимности Максвелл а».

Примеры

1. В опыте, описанном в § 11, кривая прогиба для консоли, нагруженной вертикальной силой приложенной на свободном конце, дается уравнением

где у — прогиб (направлен вниз), х измеряется от заделанного конца, 1 — общая длииа стержня.

Чему будет равен прогиб свободного конца, если две равные силы, каждая величины прикладываются на расстоянии заделанного конца

2. Показать, что для любой консоли, расположенной как на рис. 5, средний прогиб, вызванный вертикальной силой, приложенной в точке 1, равен прогибу, вызванному в 1 той же по величине силой, но равномерно распределенной по длине балки.

3. Арка имеет в опорах шарниры без трения (см. рис. 21 главы II). Сосредоточенная сила приложенная в какой-нибудь точке, в том случае, когда может произойти удаление шарниров друг от друга, вызывает «соответствующее» перемещение 8. Когда же это удаление невозможно, то возникает распор и «соответствующее» перемещение равно 6 (см. рисунок).

Показать, что если распор далее возрастет на величину то опоры сблизятся на величину