Сложение нормальных и касательных напряжений

130. В §§ 119 и 120 мы, зная нормальные напряжения, действующие на гранях данного кубика и соответствующие им деформации, определили напряжения, действующие на внутреннем кубике, грани которого имеют некоторый наклон к граням первоначального кубика, и возникающие в этом кубике деформации.

Рис. 43.

Методы, которыми проводилось это определение, могут быть использованы в более общем случае. Когда дело касалось напряжений (§ 120), мы пользовались только теоремами динамики. Когда же дело касалось деформации (§ 119), мы прибегали только к кинематике. С помощью тех же методов постараемся получить напряжения и деформации в прямоугольном кубике, грани которого под любым углом наклонены к граням первого, принимая, что на первоначальный кубик действуют не только нормальные (как в § 119), но и касательные напряжения.

Рассматривается кубик, вырезанный из тела. Ребра его имеют длину I (рис. 43). Две пары противоположных граней, отмеченные на рисунке штриховкой, подвержены действию нормальных напряжений интенсивности и касательных напряжений интенсивности (рис. 43). (В § 128 мы видели, что касательное напряжение должно иметь одну и ту же интенсивность на обеих парах граней.) Через ребра, по которым попарно пересекаются четыре нагруженные грани, проведены сечения плоскостями, наклоненными под углом к граням кубика. Внутри первоначального кубика образуется второй, меньший. Одна из его граней Исследуем напряжения, которые действуют на гранях этого внутреннего кубика, и возникающие в нем деформации.

Рис. 44(a) показывает тот же кубик спереди. Рассмотрим напряжения, действующие на гранях треугольной призмы с основанием Нормальное напряжение на грани имеет -тенсивность (рис. 43), а площадь этой грани равна где обозначает длину . Сила, действующая на призму и соответствующая равна а сила, соответствующая касательному напряжению на грани равна что показано стрелками на рис. 44 (Ь). Площадь грани равна она подвержена нормальному напряжению интенсивности и касательному напряжению интенсивности (рис. 43). Соответствующие силы суть что показано тоже на рис. 44 (Ь). Пусть обозначают (неизвестные) нормальное и касательное напряжения на наклонной грани площадь которой равна Соответствующие силы суть Они тоже указаны на рис. 44 (Ь).

Силы, действующие на разложим на два направления: параллельное и перпендикулярное наклонной грани Результирующая сила по направлению будет равна:

а результирующая сила в направлении

Рис. 44.

Условие равновесия дает:

131. Выше мы допускали, что напряжения равномерно распределены по площадям граней. Если размеры кубика достаточно малы, то это допущение всегда можно сделать. Теперь

покажем, что соотношения (21), подобно равенству касательных напряжений § 128, имеют место независимо от того, находится ли материал в равновесии или ускоренном движении.

Объем призмы равен Масса ее пропорциональна этой величине. Следовательно, еслн выражения, заключенные в фигурные скобки в (I) и (II), не равны нулю по отдельности, то материал подвержен ускорениям, которые возрастают беспредельно по мере того, как размеры кубика уменьшаются.

132. Вернемся к рис. 44 и заметим, что усилия на наклонной грани треугольной призмы будут сопровождаться усилиями на соответствующей грани прямоугольного кубика Интенсивности и направления последних указаны на рис. Аналогично можно показать, что напряжения на грани равные действующие в указанных на рисунке направлениях, суть

Тот же результат можно получить другим путем. Плоскость образует с плоскостью угол Следовательно, мы можем получить если вместо 26 в (21) подставим

Также можно убедиться, что напряжения на и будут иметь (как и должно быть) ту же интенсивность, что и напряжения на Таким образом, прямым применением законов динамики можно показать, что напряжения на какой-либо наклонной плоскости, проходящей через некоторую точку, выражаются как функции напряжений, заданных на каких-либо двух перпендикулярных плоскостях, проходящих через эту точку.

133. Рассмотрим деформации, испытываемые нашим внутренним кубиком. При исследовании используютсяметоды, аналогичные методам § 119. На рис. 45 изображена деформация внешнего кубика На этом рисунке сохранены обозначения рис. 44. Вследствие напряжений, действующих на гранях кубика его ребра испытывают удлиненнее .

Рис. 45.

Ребра испытывают удлинение Первоначально прямые углы уменьшаются на угол «сдвига» у. Остальные четыре ребра испытывают растяжение Из (3), так как мы имеем:

как доказано в §§ 119—121,

Очевидно, что удлинение будет также испытываться ребрами внутреннего кубика перпендикулярными плоскости рис. 45.

134. Вычислим удлинения Начнем с того, что найдем удлинение (рис. 45), которое обозначим Длины (рис. 45а) до деформации суть и после деформации (рис.

Первоначально прямой угол после деформации изменится, и мы будем иметь

Очевидно,

или, согласно (I) и (II),

Отсюда, пренебрегая членами второго порядка малости по сравнению с и 7, мы получим, что

Удлинение можно найти точно тем же путем пли путем подстановки рис. 45а) в (24). Мы получим, что

Итак, определены три удлинения, которые испытывают ребра внутреннего кубика (рис. 45). Легко проверить, что

связаны с выраженными формулами (21) и (22), соотношениями, тождественными по форме с первым и вторым из (23).

135. Найдем сдвиг кубика Пусть угол (в деформированной конфигурации) будет тогда (см. рис.

если мы пренебрежем Отсюда вытекает, что малая величина порядка деформации. Тогда, с точностью до малых первого порядка, из (I) мы имеем:

откуда получается, что

Угол представляет собой изменение вследствие деформации угла на рис. 45(a), т. е. поворот против часовой стрелки. Угол вследствие деформации возрастает. Подставив вместо в (II), мы для поворота получим:

Теперь сдвиг кубика т. е. изменение вследствие деформации первоначально прямого угла очевидно, будет

или, после подстановки и из (II) и (III),

А после подстановки из (23) и 7 из (13):

В последнем равенстве использовано соотношение (14) между к Отсюда, согласно (21),