Устойчивость прямоугольной пластинки, подверженной на сторонах действию сил сжатия

499. Задача устойчивости прямоугольной пластинки относительно проста. Рассмотрим ее. Во-первых, рассмотрим пластинку с закрепленными сторонами а к (см. рис. 117). Пластинка подвержена действию силы сжатия в направлении

Рис. 117.

Все стороны свободно оперты.

Вдоль сторон имеем и условия (58) сводятся к

или к

Вдоль сторон и мы имеем и условия (58) сводятся таким же путем к

в основном уравнении (54) мы имеем

так что уравнение сводится к следующему:

Рещением этого уравнения, удовлетворяющим условиям (I) и (II), будет выражение

где произвольная постоянная, целые числа, при которых

Любому сочетанию двух целых, отличных от нуля, чисел согласно (63), соответствует частное критическое значение такое, что при нем уравнение (61) удовлетворяется вместе с краевыми условиями (I) и (II).

Таким образом, мы получаем критическое значение силы сжатия, при котором плоская форма пластинки является конфигурацией безразличного равновесия. Очевидно, что возрастает вместе с так, что ее наименьшие значения соответствуют при котором из (63) имеем

Отсюда видно, что имеет наименьшее значение при Если (квадратная пластинка), то мы получаем, что потеря устойчивости происходит впервые, т. е. при наименьшей критической силе сжатия, по форме, определяемой (62) при равных 1. Если то это впервые происходит по форме, определяемой (62) при Если отношение велико, то формы, по

которым происходит потеря устойчивости, всегда таковы, что узловые линии (линии на которых то —0) располагаются параллельно оси у на расстояниях друг от друга по оси приблизительно равных а соответствующие значения будут теми же самыми, что для квадратной пластинки со стороной т. е.

Рис. 118.

Последнее равенство, если через обозначена толщина пластинки, имеет место согласно формуле (16) главы VII. Отсюда видно, что критические напряжения, а именно, пропорциональны Откуда вытекает, что с точки зрения устойчивости надо отдать предпочтение легким сплавам, которые позволяют использовать более толстые пластинки при том же весе.

600. Случай, рассмотренный в § 499, имеет практическое значение, так как полученные формулы можно использовать при вычислении критической силы для тонкостенной квадратной трубы (рис. 118(a). Очевидно, что при деформации поперечные сечения трубы приобретают вид, показанный на рис. 118 (b) (криволинейный прямоугольник). Каждая из сторон трубы находится в условиях шарнирного закрепления и поэтому может быть использовано предыдущее решение.

Три стороны свободно оперши, четвертая свободна.

Если одна сторона, например, совершенно свободна, то будут иметь место условия (59). Для свободной стороны и так как, согласно (II) § мы из (57), (59) и (60) имеем

Основное уравнение этой задачи, как и раньше, имеет форму (61).

Будем искать решение в виде

где -пока неизвестная функция одного у. Мы видим, что условия на свободно опертых сторонах (рис. 117) удовлетворятся, если мы дадим какое-нибудь целое значение. Условия на краю удовлетворятся, если

и условия (66) на стороне удовлетворятся, если

Штрихами обозначено дифференцирование по у. Уравнение (61) после подстановки (67) станет

общее решение которого содержит четыре показательных функции. Оба краевых условия (68) удовлетворятся, если мы примем, что

где, согласно уравнению (70),

Условия (69) после подстановки (71) принимают вид:

Или, если мы восаользуемся соотношением (72)

Если тождественный нуль. Исключая из рассмотрения этот случай, мы из (II) получаем условие

которое, будучи разрешено относительно при использовании соотношений (72) даст значение критической силы сжатия на краях.

601. Эта задача при различных граничных условиях рассматривалась Тимошенко и другими авторами как

точными, так и приближенными (метод Рэлея) методами. Вычисления в задачах с другими, чем рассмотренные, граничными условиями длинны, и мы не будем проводить их здесь. Ссылки на литературу и сами результаты можно найти во второй части «Сопротивления материалов» Тимошенко).

Примеры

9. Пусть в задаче, рассмотренной в § 499, вместе с на сторонах и действует сила сжатия по сторонам и Показать, что равенство (63) заменится следующим:

Взяв равными между собой, получить наименьшую критическую силу для квадратной пластинки со стороной а. а

10. (СашЬ. М. S. Т. 1933.) Имеем длинную прямоугольную пластинку. По ее коротким сторонам действуют силы сжатия. Пластинка расположена между упругими прокладками, которые оказывают на нее боковую силу реакции с интенсивностью на единицу длины пластинки, равной -кратному боковому прогибу из ненагруженного положения. Короткие стороны пластинки не могут прогибаться, но угол наклона пластинки вдоль них может быть любым. Прокладки действуют так, что касательные силы на сторонах пластинки отсутствуют.

Когда пластинка свободна от нагрузки, ее малый прогиб определяется выражением

где длина пластинки, расстояние от одной из сторон, целое число.

Показать, что когда сила сжатия действующая в плоскости прикладывается к короткой стороне пластинки, то ее боковой прогиб дается формулой

где наименьшая критическая сила Эйлера для пластинки без боковых опор.

Вывести отсюда выражение для того значения которое будет стремиться вызвать большой прогиб, и показать, что это выражение будет иметь наименьшее значение при равном ближайшему к величине целому числу.