УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ, ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ СИЛ, ЛЕЖАЩИХ В ЕЕ ПЛОСКОСТИ

Уравнение энергии

494. Интересно тем же методом получить условия, которым подчиняются прогибы пластинки в случае упругого равновесия последней под действием сил, лежащих в ее плоскости. Мы увидим, что в добавление к уравнению, которое должно выполняться внутри контура, мы получим условия, которые должны удовлетворяться на краю пластинки.

Как аналог (постоянной) осевой силы сжатия в стержне, мы имеем, вообще говоря, две главные силы сжатия в плоскости пластинки. Как аналог выражения 2» которое, как было показано в § 481, представляет собой уменьшение вследствие изгиба упругой энергии сжатия на единицу длины стержня, мы имеем выражение, состоящее из двух членов, а именно:

которое представляет собой уменьшение вследствие изгиба упругой энергии сжатия на единицу площади пластинки.

Здесь х, у — направления а через обозначен прогиб срединной поверхности.

Вообще говоря, направления и их величины будут изменяться от точки к точке пластинки. Если через обозначить угол, который составляют с фиксированными направлениями то мы, как и в § 234 главы VII, имеем:

Поэтому выражение (I) эквивалентно следующему:

или

где являются силами сжатия по направлениям касательным усилием. Эти величины определяют главные силы сжатия

Проинтегрировав выражение (19) главы VII для величины по всей площади срединной поверхности, мы получим упругую энергию изгиба. Упругая энергия системы при изгибе не изменяется, если выполняется условие:

где

Применение вариационного метода

495. Приближенное решение задачи об устойчивости пластинки методом Рэлея можно провести на основании условия (50) подобно тому, как в случае стержней это делалось на основании условия (32).

Рассуждениями, аналогичными рассуждениям § 492, мы можем показать, что если плоская форма является конфигурацией безразличного равновесия, то левая часть условия (50) должна обращаться в нуль, когда функции дано любое бесконечно малое приращение Таким образом, если является формой продольного изгиба или конфигурацией безразличного равновесия, то вместе с условием (50) должно выполняться другое условие:

где х, выражены через функцию соотношениями типа (51).

496. Первый поверхностный интеграл условия (52) можно преобразовать так, как указывалось в дополнении к главе VII. Его можно написать в форме

где Ну выражены через функцию формулами (21) главы VII. Используя преобразование Грина и условия равновесия элемента пластинки вблизи контура, мы придем к выражению, подобному (69) той же главы, а именно:

где имеют значения, определенные в § 256 и показанные на рис. 85.

Второй из поверхностных интегралов в условии (52) эквивалентен

или, если к членам второй строки применить преобразование Грина:

где имеют те же значения, что и в § 256. Воспользовавшись формулами (II) того же параграфа, мы можем написать криволинейный интеграл в форме

а это эквивалентно

где и 5 погонные интенсивности приложенных к элементу контура пластинки нормальной силы сжатия и касательной силы в направлении

Основное уравнение

497. Собирая результаты, заключающиеся в выражениях (I), (II) и (III), мы можем заменить условие (52) следующим:

Согласно сказанному в § 495, это условие должно выполняться, когда является любой функцией, удовлетворяющей граничным условиям. Очевидно, что какова бы ни была форма этих условий, функцию всегда можно взять так, что она будет принимать любое значение в любой точке внутри контура. Поэтому поверхностный и криволинейный интегралы в условии (53) каждый по отдельности должны обращаться в нуль. Далее, поверхностный интеграл может обращаться в нуль при любой функции только тогда, когда величина в квадратных скобках равна нулю во всех точках внутри контура. Таким образом, получаем основное уравнение для прогиба а именно:

Если это уравнение имеет решение, удовлетворяющее граничным условиям рассматриваемой задачи, то плоская форма пластинки будет представлять собой конфигурацию безразличного равновесия.

Граничные условия

498. Из условия (53) вытекает не только основное уравнение, но и определенный тип граничных условий, при котором плоская форма является конфигурацией безразличного равновесия. Мы видели, что если равновесие плоской формы безразлично, то криволинейный интеграл в условии (53) при любой функции удовлетворяющей граничным условиям рассматриваемой задачи, должен обращаться в нуль. Отсюда легко видеть, что в каждой точке границы должно быть

Условия на заделанном крае. Если край заделан, то

Поэтому и также должны быть нулями, и условия (55) удовлетворяются.

Условия на свободно опертом крае.

В этом случае на краю равно нулю, т. е. тоже нуль, но не наложено никаких ограничений на следовательно, и на Таким образом, первое из условий (55) удовлетворяется в силу граничных условий задачи, а второе — требует, чтобы обращалось в нуль.

Как и в § 256 главы VII согласно (20) и (21) § 234 мы имеем

Итак, граничные условия в этом случае будут

где выражено формулой (57). направляющие косинусы внешней нормали к контуру пластинки.) Условия на свободном крае.

В этом случае не наложено никаких ограничений ни на ни на

Условия (55) требуют, чтобы

где имеют значения, объясненные в § 496; G выражено формулой (57), и (см. § 256) согласно (20) и (21) § 234, а также (26) § 238 для и имеем