Тождественные соотношения между компонентами деформации
308. Из выражений (2), (3), (4) и (5) мы видим, что шесть компонентов деформации можно выразить как функции трех компонентов смещения. Отсюда следует, что они не могут быть совершенно независимы друг от друга. Выведем соотношения, которым они должны удовлетворять.
Из выражения
и третьего из 
мы имеем:
Отсюда, так как, согласно (2) и (3),
следует, что
И мы имеем выражения
Далее с помощью (11) получим:
(так как второй и третий члены в этом выражении уничтожаются),
Выражения (II) и (III) представляют собой три уравнения, из которых 0) можно исключить дифференцированием. Например, из (II) мы имеем:
или
а из 
и вторэго 
получим:
или
Из (III) и первого равенства (II) можно получить другое соотношение типа 
Дальнейшие соотношения можно получить, исключая и 0) из уравнений, аналогичных 
и (III). Эти соотношения можно написать сразу с помощью «циклической перестановки». Собирая результаты, мы найдем все шесть соотношений, которым должны удовлетворять компоненты деформации:
Эти соотношения известны как условия совместности деформаций.
309. Иногда с помощью простых соображений, например, из соображений симметрии, удается получить выражения для компонентов напряжения, которые, как можно показать, удовлетворяют условиям равновесия и граничным условиям задачи. Выполнение этих условий, как мы заметили в § 286 главы VIII, необходимо, но недостаточно, потому что фактически три условия налагаются на шесть независимых компонентов напряжения. Прежде чем принять некоторое решение в качестве точного решения задачи, мы должны убедиться в возможности существования в материале без начальных напряжений деформаций, вызванных найденными нами напряжениями. Мы должны установить, совместны ли найденные деформации с существованием в материале однозначных смещений и, 
Уравнения (12) дают возможность провести эту окончательную проверку. Если они
удовлетворяются, то мы можем принять наше решение, не вычисляя действительных значений смещений.
В главе V (§§ 155—159) мы получили решение задачи о кручении. Решение удовлетворяло граничным условиям для круглого вала. Мы установили, что напряжение в поперечном сеченни является чисто касательным, имеет интенсивность:
н направление, перпендикулярное радиусу.
Выберем три взаимно перпендикулярные оси координат 
направим по оси вала, а 
по каким-нибудь двум направлениям, лежащим в плоскости поперечного сечения. Касательное напряжение 
можно разложить на два компонента 
соответственно по направлениям 
Если через в обозначить угол между осью 
и радиусом, проведенным в рассматриваемую точку, то из (1) мы получим:
Соответствующие деформации равны.
выражения (величина 
в них постоянна) удовлетворяют условиям совместности. Кроме того, напряженное состояние удовлетворяет условиям равновесия и (для круглого вала) граничным условиям на заданной поверхности. Итак, мы можем сказать, что решение главы V правильно.
Пример
3. (Oxford F. Е. Е. S. 1932.) Вследствие деформации точка 
принадлежащая непрерывному материалу, получила малые смещения 
соответственно в направлениях 
Компонент смещения в направлении 
равен нулю. Компоненты 
зависят от 
не зависят от 
Написать (без доказательства) выражения для компонентов деформации 
Вывести соотношения, которым эти величины должны удовлетворять. Полученные результаты использовать
для того, чтобы найти условия, при которых возможна следующая система деформаций:
310. В предыдущем параграфе мы заметили, что уравнения (12) являются условиями возможности существования деформации, вызванной данным напряженным состоянием, в теле без начальных напряжений. С точки зрения, принятой в §§ 88—92, уравнениям (12) можно дать другое истолкование. Напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия и возникающее в теле без начальных напряжений, вызывает меньшую упругую энергию, чем какое-либо другое напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия. Следовательно, уравнения (1) являются условиями минимума упругой энергии деформации, выраженной, как функция компонентов деформации.
В подтверждение этого соображения заметим, что уравнения (12) можно вывести с помощью методов вариационного исчисления. Их можно получить как условия того, что 
вариация полной упругой энергии деформации, и должна обращаться в нуль для всех варьированных компонентов напряжения, удовлетворяющих уравнениям равновесия в напряжениях
