ГЛАВА I. ЗАКОН ГУНА И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ, НАХОДЯЩИХСЯ В РАВНОВЕСИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ К НИМ ВНЕШНИХ СИЛ
Предварительные соображения
1. Ни один из известных нам в природе материалов не является абсолютно твердым. Тела неизбежно деформируются под действием приложенных к ним сил, хотя иногда деформации настолько малы, что требуются весьма чувствительные инструменты для того, чтобы их обнаружить. Мы сразу можем отличить пластичные материалы, как, например, свинец или вар, которые почти не стремятся возвратиться к своей первоначальной форме после удаления деформирующих сил, от упругих, как, например, эбонит или сталь, у которых (если приложенные силы были не слишком велики) восстановление формы практически полное.
Процесс деформирования в каждом отдельном случае идет так, что приложенные силы, взятые в целом, производят над материалом некоторую работу. Если материал упругий, то эта работа запасается в виде потенциальной энергии, которая освобождается по мере того, как уменьшаются деформирующие силы. Если материал пластичный, то работа, произведенная приложенными к нему внешними силами, пойдет на изменение его физического состояния или вызовет нагревание. Чем больше жесткость материала, тем меньше при данной системе приложенных сил запасенная работа. Иногда неабсолютная жесткость является помехой. Например, это имеет место при точных измерениях, когда приходится учитывать деформацию измерительных инструментов, эталонов длины и т. д., происходящую вследствие их собственного веса. Но в очень большом числе случаев деформируемость является положительным качеством. Так, пластичность свинца или резины позволяет употреблять эти материалы в качестве «прокладок» в машинах высокого давления, где они, деформируясь, обеспечивают
плотное соединение фланцев машины. Способность упругих материалов запасать и отдавать назад механическую работу используется, например, в пружинах. В соответствии с характером поставленной задачи, целью конструктора является достижение либо больших, либо малых деформаций. В каждом из этих случаев конструктор нуждается в теории, с помощью которой деформации могут быть подсчитаны.
2. Теория такого рода имеет и другие приложения. Во-первых, она включает в область теоретической механики задачи, которые неразрешимы методами статики или динамики твердого тела. Простейший пример такой задачи дан на рис. 1. Два жестких бруса 
соединенных тремя параллельными стержнями а, Ь, с, подвержены действию сил 
так, как показано на рисунке. Одни только теоремы статики не дают нам возможности сказать, как нагрузка распределится между стержнями. Ясно, что ответ зависит от относительной жесткости стержней. Основным требованием является равенство удлинений всех трех стержней.
Во-вторых, теория деформаций под нагрузкой представляет собой существенную часть ветви прикладной механики, известной под названием сопротивления материалов. В сопротивлении материалов стремятся отыскать правила, позволяющие каждой части конструкции или машины придать размеры, соответствующие тем силам, действию которых она должна противостоять.
Деформация детали может быть настолько малой, что не будет иметь значения сама по себе; но ее нужно учитывать, потому что она определяет напряженное состояние (т. е. внутренние усилия).
В только что приведенной задаче мы не можем сказать, будет ли иметь каждый из стержней а, Ь, с соответствующую прочность, до тех пор, пока мы не определим нагрузку, которую каждый из них должен удерживать. Следовательно, как мы видели, в первую очередь надо определить их удлинения. В качестве другого примера возьмем стержни 
(рис. 2), сделанные из одинакового материала. Поперечное сечение стержня А равно наименьшему поперечному сечению 
стержня В, имеющего треугольные вырезы. Без учета деформации вблизи вырезов мы не сможем сказать, который из
стержней и насколько будет прочнее, потому что мы не будем знать, как общая сила растяжения распределится по сечению 
Предыдущие примеры были типичными задачами сопротивления материалов, и они показывают, что развитие этой науки должно итти по двум направлениям. Во-первых, следует развивать методы для определения напряженного состояния, появляющегося в теле заданной формы при действии на него заданных сил.
Рис. 1.
Рис. 2.
Во-вторых, нужно найти способы для решения вопроса о том, может ли данный материал выдержать данное напряженное состояние. Первое направление исследований касается теории упругости, которая является предметом настоящей книги. Второе относится к изучению реальных материалов, и им следует заниматься в лабораториях испытания материалов, металлографии и тому подобных. В идеальном случае наука должна развиваться по обеим линиям pari passu. Однако нужно сразу же признать, что прогресс в нашей науке еще не достиг той стадии, на которой становится возможным учет всех, а не только наиболее простых свойств материалов.
3. Первым начал изучать сопротивление твердых тел разрушению, повидимому, Галилей. Галилей рассмотрел задачу о стержне, заделанном одним концом в стену и нагруженном
собственным весом или приложенной силой. Его исследования не привели к удовлетворительному результату, потому что в то время не было известно соотношение между силой и перемещением. Нужное соотношение было открыто Робертом Гуком, который опубликовал в 1678 г. свой знаменитый закон о пропорциональности между напряжением и деформацией Ut tensio sic vis Этот закон явился фундаментом математической теории упругости. Значительный прогресс в теории упругости был достигнут к 1821 г., когда Навье установил общие уравнения
Выводом этих уравнений и их решением мы займемся позже. В этой главе мы будем иметь дело с основными теоремами, которые можно получить из закона Гука, не обращаясь к подробным теориям напряжений и деформаций. Это те выводы, которые сам Гук мог бы сделать из своих наблюдений, если бы он обратился к закону сохранения энергии. Однако заметим, что закон сохранения энергии не был четко сформулирован даже во времена появления мемуара Навье, и только в 1837 г. Грин вывел общие уравнения новым методом, в основе которого лежал закон сохранения энергии
