Выражение заданной функции в виде ряда по собственным функциям
633. Если заданную функцию можно разложить в ряд по собственным функциям, то коэффициенты этого ряда определяют, воспользовавшись сопряженными соотношениями (глава XIII, § 486; глава XIV, § 504). Покажем это. Пусть
где 
удовлетворяют сопряженным соотношениям (7) § 504. Умножив (71) на 
и проинтегрировав от 
до 
получим
Отсюда, в силу сопряженных соотношений, имеем
Следовательно, коэффициенты 
можно вычислить, когда функции известны.
В качестве примера рассмотрим свободные поперечные колебания стержня постоянного поперечного сечения, шарнирно закрепленного на обоих концах. Здесь формы нормальных колебаний, как было доказано в § 214 главы VI, определяются формулой
Поэтому 
постоянно) формула (72) сводится к 
которая является широко принятой формулой «гармонического анализа».
534. Мы можем пользоваться формулой (72) только тогда, когда функции 
известны. В общем случае эти функции можно определить с большим трудом и только приближенно. Тем не менее важно, чтобы читатель рассматривал разложение в ряд по тригонометрическим функциям как частный случай общего типа разложения в ряд по «собственным функциям». Тогда ему станет ясно, что исследование, проведенное для шарнирно закрепленных балок постоянного поперечного сечения, можно обобщить mutatis mutandis на балки переменной жесткости, закрепленные любым из тех способов, при которых энергия системы остается неизменной.
