Значение приближенного исследования

477. Во многих учебниках высказывается та точка зрения, что приближенная теория, данная в главе VI (и известная как теория Эйлера), достаточно хорошо объясняет явление продольного изгиба прямых стержней под действием

осевой силы сжатия. Эту точку зрения подтверждает совпадение (для тонких стержней) значения «первой критической силы» Эйлера со значением нагрузки, при которой, как теперь было показано, начинается продольный изгиб. Проведенное выше исследование показывает, что упругий стержень будет устойчивым для всех значений нагрузки. Это наводит на мысль, что указанное совпадение может быть случайным и что, во всяком случае, необходимо дальнейшее исследование вопроса.

В практике мы конечно имеем дело с материалами, подчиняющимися закону Гука только до некоторого определенного конечного значения нагрузки. Следовательно, наша теория не может применяться к слишком большим нагрузкам, но с ее помощью мы можем объяснить тот факт, что продольный изгиб начинается при нагрузке, величина которой очень близка к критическому значению.

В § 467 мы заметили, что в действительности стержень никогда не бывает абсолютно прямым. В § 469 было показано, что, согласно приближенной теории, зависимость прогиба в середине от нагрузки может быть представлена равнобочной гиперболой. Ветвь гиперболы уходит в бесконечность, когда нагрузка приближается к первой критической силе. В § 471 мы подчеркнули, что этот вывод без оговорок не может быть принят. Там же мы построили кривую (рис. 114), заменяющую горизонтальную линию (асимптоту гиперболы), получающуюся по приближенной теории. Эта кривая начинается от ординаты асимптоты и вначале имеет пологую форму. Отсюда следует, что хотя приближенная теория в конце концов и дает выводы весьма далекие от истины, но ее можно принять как приближенное описание имеющихся в действительности явлений, когда прогиб в середине еще достаточно мал. На этом основании мы вправе ожидать, что кривая зависимости между прогибом и осевой силой сжатия для первоначально почти прямого стержня будет сначала близка к равнобочной гиперболе, а затем она будет вести себя как кривая рисунка 114 (см. кривую на рис. 116).

Теперь рассмотрим напряжения, возникающие в стержне. Каждое поперечное сечение стержня подвергается (приближенно) действию одного и того же усилия сжатия, которое

вызывает равномерное сжимающее напряжение, и, кроме того, имеется напряжение изгиба, изменяющееся от сжимающего до растягивающего напряжения. Интенсивность напряжений изгиба изменяется с изменением изгибающего момента и является наибольшей в среднем сечении.

Рис. 116.

В этом сечении изгибающий момент измеряется произведением Следовательно, напряжение изгиба изменяется как а составляющая напряжения, вызванная непосредственно силой сжатия, будет изменяться как Таким образом мы видим, что по мере того как мы при возрастающей нагрузке двигаемся по кривой часть напряжения, вызванная изгибающим моментом, сильно увеличивается в сравнении с другой его частью.

Предположим, что стержень достаточно тонкий, так что значение первой критической силы таково, что часть вызванных ею напряжений, обусловленная непосредственно сжатием, не превосходит предела пропорциональности. Кривая (рис. 116) будет характеризовать происходящие при нагрузке такого стержня явления до тех пор, пока прогиб 8 не станет

столь большим, что часть напряжений, обусловленная изгибающим моментом, перейдет за предел пропорциональности (точка С на рис. 116). Если стержень не слишком тонкий, то действующая в это время на конце стержня сила будет, очевидно, очень близка к критическому значению. За точкой С истинная кривая начнет отходить от расчетной вниз, потому что материал будет выдерживать теперь меньшие, чем раньше, напряжения.

Равновесие перестает быть устойчивым в тот момент, когда касательная к кривой становится горизонтальной. Таким образом, мы видим, что «сила продольного изгиба» (сила, соответствующая наивысшей точке кривой видимо, почти совпадает с первой «критической» силой, полученной из приближенной теории, но это совсем не значит, что они тождественны.

В теории упругости мы имеем дело только с одной из них. Замеченное выше равенство двух сил легко установить при соблюдении двух условий, которые осуществляются в опытах с длинными нагруженными без эксцентриситета стержнями. Во-первых, прогиб должен иметь достаточно большую величину в тот самый момент, когда материал перестает подчиняться закону Гука. Во-вторых, для больших прогибов кривая должна лежать близко от линии, изображающей критическую силу.

478. Если через А обозначить площадь поперечного сечения стержня, то критическая сила определяется равенством

Отсюда мы видим, что непосредственно сжимающее напряжение в стержне, в том случае, когда он остается прямым, вплоть до момента, при котором осевая сила сжатия становится равной критической, будет

Очевидно, что это напряжение может быть достаточно большим и даже может вызвать переход за предел пропорциональности, когда стержень короткий, т. е. - мало. Наша теория для

стержней такого рода неприменима. Здесь мы встретились с вопросом, который выходит за пределы настоящей книги, так как в ней рассматриваются упругие деформации. Мы только заметим, что значение критической силы в случае коротких стержней можно вычислить, показывается, что оно много меньше критической силы Эйлера, т. е. силы определенной формулой (29). Итак, согласно содержанию предыдущих параграфов, нет никаких оснований предполагать, что короткие стержни будут претерпевать продольный изгиб при тех значениях нагрузки, которые можно вычислить из формулы (29), несмотря на то, что погрешности, вызванные производством для таких стержней, относительно маловажны.

В заключение заметим, что методы теории упругости нужно применять к задачам о продольном изгибе стержня с некоторой осторожностью, потому что они дают хорошие результаты, если мы рассматриваем достаточно большие деформации только тогда, когда имеем дело с длинными и тонкими стержнями. Для стержней такого рода «первая критическая сила» имеет практическое значение, ибо ее величина близка к значению той нагрузки, при которой стержень переходит за предел пропорциональности. Мы рассмотрели задачу о стержне, которая является частным случаем ряда задач, связанных с устойчивостью упругих систем. Отличительной чертой этих задач является то, что, как показывает рис. 115, нагрузка и соответствующее ей перемещение не пропорциональны между собой.

Пример

4. Пусть мы имеем прямой эксцентрично нагруженный стержень (пример 1). Показать, что если сжимающее напряжение меньше то наибольшая допускаемая нагрузка на конце будет

где через А обозначена площадь поперечного сечения, через соответствующий радиус инерции, через эксцентриситет приложения нагрузки, а через расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной от нее точки контура поперечного сечения на сжатой стороне стержня.