Энергетические соображения

509. Уравнение (17) можно интерпретировать с точки зрения уравнения энергии. При любом свободном колебании должно осуществляться следующее энергетическое условие:

в нашей задаче, когда у дается выражением (16), получаем (индекс опущен), что:

Подставив полученные выражения в условие (18), мы увидим, что величина

не должна зависеть от Откуда следует, что выражение, стоящее в фигурных скобках, должно обращаться в нуль, т. е. мы получаем уравнение (17)

510. Аналогичные соображения применимы к любой задаче, относящейся к свободным колебаниям упругой системы. Рассматривая колебания только «нормальной» формы, мы принимаем, что изменение прогиба со временем в каждой точке характеризуется формулой (16), т. е. фаза и частота колебаний не меняются от точки к точке. Тогда полную упругую энергию можно выразить в виде некоторого интеграла.

умноженного на а полную кинетическую энергию в виде другого интеграла, умноженного на Уравнение энергии (18), как и выше, дает возможность выразить с помощью отношения этих двух интегралов. Это отношение дает точное значение когда в него подставлена истинная форма нормального колебания. Согласно методу Рэлея это отношение дает хорошее приближение к наименьшей частоте после подстановки во входящие в него интегралы формы прогиба, наиболее близкой к истинной форме нормального колебания основного тона, т. е. форме первого нормального колебания.