Энергетические соображения
509. Уравнение (17) можно интерпретировать с точки зрения уравнения энергии. При любом свободном колебании должно осуществляться следующее энергетическое условие:
в нашей задаче, когда у дается выражением (16), получаем (индекс
опущен), что:
Подставив полученные выражения в условие (18), мы увидим, что величина
не должна зависеть от
Откуда следует, что выражение, стоящее в фигурных скобках, должно обращаться в нуль, т. е. мы получаем уравнение (17)
510. Аналогичные соображения применимы к любой задаче, относящейся к свободным колебаниям упругой системы. Рассматривая колебания только «нормальной» формы, мы принимаем, что изменение прогиба со временем в каждой точке характеризуется формулой (16), т. е. фаза и частота колебаний не меняются от точки к точке. Тогда полную упругую энергию можно выразить в виде некоторого интеграла.