Определение напряжений в статически неопределимых фермах

103. Мы можем находить усилия в статически неопределимых фермах как в плоском, так и в пространственном случаях с помощью второй теоремы Кастилиано. Если определяемое соотношениями (15) или (17), представляет собой степень статической неопределимости фермы, то, очевидно, мы можем сделать ферму простой, удалив подходящим образом выбранных стержней. Другими словами, мы можем

дать произвольные значения силам растяжения в этих стержнях и затем из условий равновесия найти силы растяжения в остальных стержнях.

Выберем стержней, которые считаем лишними, заботясь только о том, чтобы ферма после их удаления осталась геометрически неизменяемой. В остальном этот выбор ничем не ограничен, и мы их можем выбирать так, как удобно в той или иной частной задаче (ср. §§ 98 и 101). Далее мы вычислим напряжения в стержнях получившейся простой фермы, сначала от заданных внешних сил, а потом от единичных сил растяжения, приложенных по очереди в каждом лишнем стержне, при отсутствии внешних сил. Применяя принцип суперпозиции, точно так же, как в § 100, мы для каждого из оставшихся стержней можем написать соотношение типа:

которое выражает силу растяжения, вызванную в рассматриваемом стержне, через, пока неизвестные, силы растяжения в лишних стержнях и через заданные внешние силы. Из предварительных вычислений мы уже получили значения

Силы растяжения в каждом стержне, включая и лишние стержни, известны нам как функции Мы можем образовать выражение полной упругой энергии После чего, пользуясь второй теоремой Кастилиано, мы получим уравнений для Это будут уравнения типа (12). В специальных случаях, когда ферма имеет начальные напряжения, эти уравнения будут иметь форму (11) § 91. Число их в любом случае достаточно для определения неизвестных сил растяжения

104. Изложенный метод уже применялся к частным примерам в § 90. Здесь мы не будем разбирать новые примеры.

Но они и не нужны, если методы расчета простых ферм известны. Если при расчете фермы мы пользуемся аналитическим методом § 102, то в уравнения вместо сил растяжения войдут коэффициенты растяжения. Однако изменять указанный выше метод не нужно. Выражения типа (22) нмеют место как для сил растяжения, так и для коэффициентов растяжения.

При составлении выражения упругой энергии удобно ввести величину которая определена нами в § 39 главы II. Уравнение (7) главы II можно записать в форме:

где упругая энергия, запасенная в стержне, -коэффициент растяжения, упругая постоянная, выраженная формулой (8) или (9) главы II.