Термоупругие уравнения
323. При выводе общих уравнений мы предполагали, что деформированное состояние является следствием только приложенных сил. Таким образом мы исключили тела с «начальным напряжением», которые изучались в главе III. В § 78
главы III мы рассмотрели простой пример «температурных напряжений», т. е. случай возникновения начальных напряжений вследствие неравномерного нагрева различных частей составного тела. Теперь мы рассмотрим общий случай, в котором температура в каждой точке упругого тела задана. Основная задача заключается в том, что надо определить возникшее напряженное состояние. Мы выведем необходимые для нашей цели уравнения, которые назовем термоупругими уравнениями.
324. Пусть сначала имеем упругое тело, все части которого свободны от напряжений и имеют одну и ту же температуру 6. Координаты какой-нибудь частицы тела в этой данной конфигурации обозначим через х, у, z.
Теперь представим себе, что тело нагрели и одновременно вызвали в нем напряжения. Частица, которая вначале находилась в точке 
сместится на расстояние и, 
Температура этой частицы изменится и станет Удлинения в этой конфигурации мы будем определять, относя получившиеся в ней длины к длинам первой конфигурации, как данным. Эти удлинения выражаются обычным образом через 
Некоторая доля каждого из полученных удлинений является следствием повышения температуры и не вызывает напряжений в материале. Через 
как в гл. III, обозначим температурный коэффициент линейного расширения. Удлинение в каждом направлении, являющееся следствием только одного изменения температуры, равно 
Удлинения, являющиеся следствием напряжения, теперь будут:
Эти измененные выражения для удлинений нужно подставить вместо 
в соотношения между компонентами напряжения и деформации.
С другой стороны, выражения для величин сдвига 
так как деформация, вызванная изменением температуры, является только чистым расширением, не изменятся.
Таким образом для компонентов напряжения имеем:
где 
как и раньше, представляет собой 
326. Коэффициент 
в выражениях (II) имеет простой физический смысл. Мы знаем, что:
Через К обозначаем «модуль объемного сжатия», а через 
температурный коэффициент объемного расширения, т. е. с является величиной объемного расширения, вызванного увеличением температуры на один градус в случае свободного расширения; 
представляет собой давление, необходимое для того, чтобы свести к нулю это расширение. Мы можем определить 
как давление, возникающее в том случае, когда температура тела поднимается на один градус, а расширение абсолютно не допускается.
326. Обратившись к первому уравнению движения в напряжениях, а именно
мы видим, что член, зависящий от температуры, в выражении (II) для 
введет в левую часть соответствующего уравнения для 
дополнительный член 
Других изменений не будет. Выписанный добавочный член и аналогичные ему члены в двух других уравнениях в
напряжениях, а имено 
а 
очевидно эквивалентны компонентам объемной силы (силы на единицу объема, но не на единицу массы), потенциал которой равен 
Члены, зависящие от температуры в выражениях (II) влияют и на граничные условия, если последние выражены как функции и, 
Направление х отождествим с направлением нормали к границе, через 
обозначим значение нормального давления, действующего в рассматриваемой точке. Теперь мы видим, что граничные условия могут быть записаны в виде соотношения;
и двух других соотношений для касательных напряжений, форма которых не изменяется.
Собирая наши выводы, мы можем сказать, что влияние на смещения неравномерного нагрева можно найти из уравнений обычного типа, установленных в §§ 320—322, при следующих условиях; (а) в добавление к массовым силам и поверхностным напряжениям, которые приложены к телу в действительности, мы должны ввести фиктивные объемные силы, являющиеся градиентом фиктивного потенциала 
мы должны ввести фиктивное напряжение 
на границе тела;
(с) вычисляя компоненты напряжения по компонентам смещения, определенным из полученных нами уравнений, мы должны пользоваться исправленными выражениями типа 
Для того чтобы провести наше решение, мы должны знать 6, как функцию координат. Определение функции в (х, 
по данным граничным условиям является задачей теории теплопроводности.
