Свободные поперечные колебания стержня, подверженного действию растягивающих сил
614. Допустим, что стержень постоянного поперечного сечения, концы которого удерживаются некоторым специальным образом, подвергается действию растягивающих сил 
Как и раньше, в направлении 
на стержень вследствие сил инерции будет действовать поперечная нагрузка интенсивности
только теперь она будет удерживаться частично жесткостью при изгибе, частично растяжением.
Из уравнений (1) и (19) легко видеть, что основное уравнение нашей задачи имеет вид:
в случае нормальных колебаний, когда
Из (27) мы получим уравнение для У:
которое, при 
к 
постоянных (т. е. не зависящих от 
можно записать в следующей форме:
где
515. Уравнение (28) удовлетворяется решением уравнения
или решением уравнения
где
Из (31) видно, что и 8 действительны и положительны. Общее решение уравнения (28) имеет вид:
где 
произвольные постоянные.
Взяв начало координат в среднем сечении стержня, получим:
(а) если оба конца стержня неподвижны
(b) если оба конца сохраняют направление
(с) если в обоих концах пожщены шарниры
516. Заметив, что 
не может обратиться в нуль, мы из (I) и (III) для стержня с шарнирно закрепленными концами имеем
Следовательно, 
должны обращаться в нуль, и мы получаем или
Оба решения удовлетворяют уравнению 
Следовательно, воспользовавшись (31), получим
где 
имеют значения (29). В предельном случае 
даст ранее полученный результат.
517. Для стержня, оба конца которого заделаны, мы из (I) и (II) имеем:
откуда, или
Все возможные решения можно объединить в условии:
которое можно упростить и записать так:
Или, если мы подставим (31)
Из (29) найдем, что
Если 
отрицательно, т. е. мы имеем дело с силой сжатия, то а отрицательно, но предыдущее исследование все же применимо.
Примеры
6. (Camb. М. S. Т. 1934.) Прямой стальной вал круглого поперечного сечения вращается с угловой скоростью 
Концы вала помещены в подшипники, которые не оказывают сопротивления изменению направления вала. Длина вала 
масса единицы длины 
а момент инерции площади поперечного сечения около диаметра 
Пусть на вал действует осевая сила сжатия 
приложенная к его концам. Показать, что если вал слегка деформируется под совместным действием продольных и центробежных сил, то форма его изогнутой оси определяется уравнением:
Показать, что вал будет вращаться с критической скоростью, когда
7. (Camb. М. S. Т. 1930.) На стержень постоянного поперечного сечения длины 
действует осевая сила сжатия 
Масса единицы длины стержня 
Стержень начинает колебаться в направлении одной из главных осей своего поперечного сечения.
Для стержня с шарнирно закрепленными концами показать, что основная частота его колебаний 
равна:
Для стержня с жестко заделанными концами показать, что его основную частоту можно определить из уравнения
