Свободные поперечные колебания стержня, подверженного действию растягивающих сил

614. Допустим, что стержень постоянного поперечного сечения, концы которого удерживаются некоторым специальным образом, подвергается действию растягивающих сил Как и раньше, в направлении на стержень вследствие сил инерции будет действовать поперечная нагрузка интенсивности

только теперь она будет удерживаться частично жесткостью при изгибе, частично растяжением.

Из уравнений (1) и (19) легко видеть, что основное уравнение нашей задачи имеет вид:

в случае нормальных колебаний, когда

Из (27) мы получим уравнение для У:

которое, при к постоянных (т. е. не зависящих от можно записать в следующей форме:

где

515. Уравнение (28) удовлетворяется решением уравнения

или решением уравнения

где

Из (31) видно, что и 8 действительны и положительны. Общее решение уравнения (28) имеет вид:

где произвольные постоянные.

Взяв начало координат в среднем сечении стержня, получим:

(а) если оба конца стержня неподвижны

(b) если оба конца сохраняют направление

(с) если в обоих концах пожщены шарниры

516. Заметив, что не может обратиться в нуль, мы из (I) и (III) для стержня с шарнирно закрепленными концами имеем

Следовательно, должны обращаться в нуль, и мы получаем или

Оба решения удовлетворяют уравнению Следовательно, воспользовавшись (31), получим

где имеют значения (29). В предельном случае даст ранее полученный результат.

517. Для стержня, оба конца которого заделаны, мы из (I) и (II) имеем:

откуда, или

Все возможные решения можно объединить в условии:

которое можно упростить и записать так:

Или, если мы подставим (31)

Из (29) найдем, что

Если отрицательно, т. е. мы имеем дело с силой сжатия, то а отрицательно, но предыдущее исследование все же применимо.

Примеры

6. (Camb. М. S. Т. 1934.) Прямой стальной вал круглого поперечного сечения вращается с угловой скоростью Концы вала помещены в подшипники, которые не оказывают сопротивления изменению направления вала. Длина вала масса единицы длины а момент инерции площади поперечного сечения около диаметра Пусть на вал действует осевая сила сжатия приложенная к его концам. Показать, что если вал слегка деформируется под совместным действием продольных и центробежных сил, то форма его изогнутой оси определяется уравнением:

Показать, что вал будет вращаться с критической скоростью, когда

7. (Camb. М. S. Т. 1930.) На стержень постоянного поперечного сечения длины действует осевая сила сжатия Масса единицы длины стержня Стержень начинает колебаться в направлении одной из главных осей своего поперечного сечения.

Для стержня с шарнирно закрепленными концами показать, что основная частота его колебаний равна:

Для стержня с жестко заделанными концами показать, что его основную частоту можно определить из уравнения