Поперечные колебания тяжелой вращающейся нити или стержня (лопасть воздушного винта)

521. Проиллюстрируем метод, предложенный в § 520, на другом примере, взятом из практики: на задаче определения изгибных колебаний лопастей воздушных винтов. Предположим, что стержень постоянного поперечного сечения длины I вращается в некоторой плоскости с постоянной

угловой скоростью около одного из своих концов. Попытаемся определить основную частоту свободных поперечных колебаний, происходящих в направлении, перпендикулярном плоскости вращения.

Силу растяжения легко вычислить. На самом деле, если стержень вращается с угловой скоростью масса единицы длины, не меняющаяся по длине стержня, то уравнение движения элемента длины стержня расположенного на расстоянии х от центра вращения, будет:

Откуда, если на другом конце стержня равняется нулю, имеем:

622. Подставив (43) в точное уравнение (20), мы для гибкой нити получаем:

или

где через 2 обозначено а

Рещения уравнения (44), т. е. значения можно получить в виде рядов по возрастающим степеням Отрицательных степеней в этих рядах быть не может, так как функции должны быть конечными при Свободные члены этих рядов так же, как коэффициенты при в первой степени, могут иметь любые значения.

в нашей задаче функции должны обращаться в нуль, при поэтому интересующие нас решения уравнения (44) имеют вид

Можно показать, что этот ряд, если он не обрывается на конечном числе членов, при (т. е. при расходится. Следовательно, для того чтобы функции могли быть конечными во всех точках нити, мы должны иметь

где целое

Мы получим основную форму колебаний, если возьмем т. е. 2 или

Отсюда видно, что форма основного колебания нити может рассматриваться как вращение прямой нити около того же начала, но в другой плоскости, наклоненной к первой. При этом нить не искривляется и поэтому оба соотношения (48) будут определять основное колебание при любом распределении масс, а следовательно, и силы растяжения, по длине нити.

523. Вернемся теперь к стержню постоянного поперечного сечения § 521 и предположим, что он заделан на конце так, что и прогиб и угол наклона при должны обращаться в нуль. В таком случае основная частота, если стержень не вращается, определяется точно равенствами (40) и (42) главы VI, т. е. выражениями

Кроме того, как установлено в конце предыдущего параграфа, не учитывая жесткость при изгибе, мы получим, что равно Таким образом неравенство (40) § 519 для нашей задачи записывается так:

и дает нижний предел для Для того чтобы получить верхний предел, мы подставим в соотношение (36) § 518, в котором определяется формулой (43), кривую статического прогиба для консоли, а именно:

Получим следующее:

Взяв среднее между оценками (50) и (51), имеем

Пределы возможной ошибки в оценке для будут равны примерно в члене, зависящем от жесткости при изгибе, и примерно в члене, зависящем от вращения (который практически много меньше, чем первый). Точность этой оценки частоты достаточна для практических целей.