Устойчивость эластики
476. Большой практический интерес имеет вопрос о том, как связана осевая сила 
с соответствующим ей перемещением, т. е. с относительным сближением концов стержня.
Если пренебречь изменением длины стержня вследствие непосредственного действия осевой силы сжатия, то концы сблизятся на 
Из (24) и (28) имеем:
а отсюда
С помощью таблиц эллиптических интегралов 
легко построить таблицу 2, в которой первые два столбца и последний взяты из таблицы 1.
Рис. 114.
Рис. 115.
На рис. 115 по данным двух последних столбцов таблицы 2 вычерчена кривая зависимости осевой силы (на рисунке откладывается безразмерная величина 
от соответствующего ей перемещения. Кривая начинается из точки, соответствующей первой критической силе (§ 466), и, как
Таблица 2 (см. скан)
видно из 
постепенно поднимается. Если мы хотим учесть изменение длины стержня вследствие непосредственного действия осевой сил 
сжатия (в предшествующих вычислениях мы им пренебрегали), то мы должны увеличить перемещение на величину, которая (для малых значений смещения) пропорциональна силе. Наше заключение относительно того, что возрастание перемещения всюду сопровождается возрастанием нагрузки, останется в силе. Таким образом стержень и нагрузка на его концах составляют механически устойчивую систему.
С точки зрения общей теории наиболее поразительной чертой задачи о стержне является то, что зависимость между
силой и соответствующим перемещением нелинейна. Это уже отмечалось, как отличительная черта задач «устойчивости упругих систем». На рис. 115 впервые изображен действительный характер этой зависимости для частного случая. На первый взгляд может показаться парадоксальным, что нелинейная зависимость вытекает из теории, основанной на законе Гука, однако простой пример главы I, § 21, вероятно, поможет понять это. Там мы показали, что если мы соединим вместе и нагрузим специальным образом две нити, каждая из которых в отдельности подчиняется закону Гука по отношению к своей реакции на приложенную силу растяжения, то мы получим систему, которая уже не будет подчиняться закону Гука. Очевидно, что причины этого кроются скорее в кинематике деформации, чем в каком-либо физическом свойстве материала. Вообще заметим, что нелинейных зависимостей между силой и соответствующим перемещением можно ожидать в тех случаях, когда нагружаемое тело тонкое (например, тонкий стержень или пластинка). В этих случаях большие перемещения могут возникнуть при малых деформациях вследствие накопления последних.
