Использование «безразмерных» уравнений

187. Вместо графического опишем в этих параграфах метод, часто употребляемый в связи с методами релаксации. С помощью этого метода решение какой-нибудь частной задачи о прогибе можно обобщить так, что оно станет применимым ко всем задачам, касающимся подобных и подобно нагруженных балок.

Пусть расстояние между опорами рассматриваемой балки (или в случае неразрезной балки длина одного из пролетов), те значения, которые принимают к В в каком-нибудь заданном сечении (например, в среднем сечении или на одном из концов).

Введем обозначения:

(еще неопределенные) прогиб и изгибающий момент. После подстановки из (1) в уравнение (5) § 181 мы получим

Если мы определим соотношением

то уравнение (II) упростится и примет вид

Форма этого уравнения совпадает с формой первоначального уравнения (5), только теперь в это уравнение вместо размерных величин из-за которых при решении уравнения (5) был поднят вопрос о масштабе (§ 183), входят безразмерные величины

Аналогично из (3) с помощью (I) мы получим:

Если мы определим у соотношением

то (IV) упростится и приведется к виду;

Уравнение по форме подобно (3), но, как и в в него входят только безразмерные величины и, следовательно, при его интегрировании не возникает вопрос о масштабе.

Исключим из и получим

Уравнение по форме подобно (6), но оно опять содержит только безразмерные величины.

188. Нам не придется больше думать о масштабном коэффициенте, когда мы будем использовать веревочный многоугольник (рис. 57) для интегрирования На самом деле пролет на чертеже (т. е. горизонтальное расстояние между концами стержня) теперь должен представляться единицей, а, следовательно, равная ему длина, отложенная вертикально, также должна представляться единицей. «Нагрузка» тоже отвлеченное число, так что сосредоточенные силы на рисунке 57, являющиеся результирующими (ср. § 183) нагрузками на различных участках пролета, измеряются теперь произведениями безразмерных

величин, и сами поэтому являются безразмерными величинами. Таким образом, -отвлеченное число. На «силовом многоугольнике» оно должно быть представлено в том же масштабе, что и сосредоточенные вертикальные «силы».

При нашей интерпретации веревочный многоугольник изображается как бы в натуральную величину (т. е. и мы подобно (9) имеем безразмерное соотношение

теперь отвлеченные числа. Аналогично во второй веревочной кривой § 184 каждая фиктивная «сосредоточенная сила» будет представлять собой произведение двух безразмерных величин, а именно: «фиктивной нагрузки», выражаемой величиной (соответствующей в § 184), и некоторой правильной дроби (длина участка пролета).

Следовательно, безразмерное число и мы в соответствии с (10) имеем (так как опять

имеют безразмерные числовые значения.

189. Устранение затруднений с масштабом не является единственным преимуществом излагаемого нами «безразмерного» решения. Если определено интегрированием интегрированием то, согласно (I) и (III) § 187,

в этих выражениях все величины справа известны. Функции сохраняются только для тех балок, для которых имеют специальный вид, но на не накладывается никаких ограничений. Таким образом, формулы (VI) могут быть применены ко всему семейству подобных и подобпо нагруженных балок. Влияние на изгибающий момент и прогиб абсолютных значений длины, интенсивности нагрузки и жесткости сразу видно из формул.

функции и и полученные при нашем решении функции определяемые выражениями (I), называются функциями распределения нагрузки, жесткости при изгибе, изгибающего момента и прогиба.