Первая теорема о минимуме упругой энергии

81. Теперь попытаемся установить ряд общих положений для систем с начальными напряжениями. Эти положения и

следствия из них были рассмотрены в §§ 74—77 на частном примере. Докажем следующую теорему.

Если в теле, подчиняющемся закону Гука, заданы перемещения, то деформация, соответствующая конфигурации равновесия, обладает меньшей упругой энергией, чем деформация, соответствующая всякой другой конфигурации (не удовлетворяющей условиям равновесия), в которой перемещения имеют те же заданные значения.

Точки, в которых заданы перемещения, могут лежать и внутри и на поверхности тела. Их может быть как мало, так и много. Например, напряжение можно вызвать, задав перемещения каких-либо двух точек тела, но равным образом его можно вызвать, задав перемещение каждой точки поверхности тела.

Обратившись к § 19 главы I, мы видим, что эта теорема является не чем иным, как специальным случаем высказанного там общего принципа механики, который говорит, что полная потенциальная энергия какой-либо системы имеет минимальное значение тогда, когда эта система находится в равновесии. Пусть заданные перемещения. Если они сохраняют постоянные значения, то рассматриваемые точки остаются неподвижными, и потенциальная энергия системы может изменяться только при изменении упругой энергии. Отсюда по общей теореме механики следует, что упругая энергия будет иметь минимальное значение в конфигурации равновесия.

82. Если предположить, что рассматриваемое тело не имеет начальных напряжений, то можно доказать теорему, не обращаясь к общему принципу механики. Доказательство ведется следующим образом.

Будем пользоваться обозначениями гл. Пусть — точки, в которых перемещения имеют заданные значения, а «соответствующие» им силы, когда система находится в конфигурации равновесия, При всякой иной конфигурации, допускаемой

заданными условиями, будут иметь те же значения, что и раньше, но величины вообще говоря, изменятся. И тогда для сохранения равновесия будут необходимы дополнительные силы, приложенные в других точках. Пусть будут измененные значения будут дополнительные силы. Через обозначим «соответствующие» перемещения точек т. е. тех точек, в которых приложены дополнительные силы во второй конфигурации. Через обозначим перемещения тех же точек в первой конфигурации (конфигурации равновесия). Полную систему сил и перемещений для двух конфигураций можно теперь записать следующим образом:

(см. скан)

Применяя теорему взаимности (глава I, § 12), мы получаем соотношение

Согласно (11) главы I, упругая энергия, запасенная в первой конфигурации (конфигурации равновесия), будет:

Упругая энергия, запасенная во второй (или окончательной) конфигурации, будет:

Вычитая одно из другого и используя (I), мы найдем, что

являются (по принципу суперпозиции) перемещениями, которые «соответствовали» если эти силы были бы приложены к первоначально недеформированному телу в то время, как точки под номерами оставались бы неподвижными. Поэтому выражение в правой части (7) представляет собой упругую энергию, которая была бы запасена телом при только что указанных условиях. Известно, что упругая энергия существенно положительная величина (ср. § 13). И, следовательно, из (7) мы имеем и Если мы совместно с конфигурацией равновесия рассмотрим любую возможную конфигурацию, не удовлетворяющую условиям равновесия, то получим точно такое же неравенство. Таким образом представляет собой минимальное значение упругих энергий, соответствующих всем возможным деформациям, удовлетворяющим заданным условиям. Теорема доказана.

Пример

6. Плоская ферма, показанная на риунке, имеет в узлах шарниры без трения и опирается в Стержни имеют одну и ту же длину и абсолютно жестки. Четыре наклонных элемента одинаковы как по длине, так и по упругим свойствам.

Показать, что если точке В дается вертикальное перемещение 8, то узлы переместятся в том же направлении на расстоянии

[Из симметрии видно, что к переместятся вертикально и на одинаковую величину о. Так как укорочения и удлинения будут пропорциональны то упругие энергии будут пропорциональны и Согласно теореме В должно иметь то значение, при котором минимально].