Простое и сложное напряжение

114. Рассмотрим теперь маленький кубик материала (рис. 35), расположенный внутри нагруженного стержня и имеющий две грани, перпендикулярные к направлению приложенной силы растяжения. Ясно, что эта часть тела (которая может рассматриваться как очень короткий участок одного из составляющих волокон) также будет испытывать ту деформацию, которую мы постулировали во всем стержне. Напряжение на нагруженных гранях (отмеченных штриховкой на рисунке) будет Расстояние между гранями по отношению к его первоначальному (недеформированному) значению будет возрастать на относительную величину связанную уравнением (1). Другие пары (ненагруженных) противоположных граней будут приближаться друг к другу так, что расстояния, которые были между ними в недеформированной конфигурации, возрастут на отрицательные относительные величины связанные с уравнениями (2).

Рис. 35.

Равномерно распределенная нагрузка такого рода, когда ее направление перпендикулярно грани, на которую она действует, называется нормальным напряжением. Мы заметили (в § 28 главы I), что на случай нормального напряжения можно распространить общие теоремы, а поэтому при вычислении совместного действия двух или трех таких напряжений, приложенных одновременно, мы можем применять принцип суперпозиции. Таким образом, обращаясь к рис. 36, на котором три перпендикулярные направления характеризуются номерами 1, 2 и 3, мы видим, что

деформация первого кубика (а), вследствие простого продольного напряжения будет определяться формулами

Рис. 36.

Кубики (b) и (с) находятся в тех же, за исключением направлений приложенных напряжений, условиях, и мы имеем:

и

Тогда в кубике (d), к которому напряжения приложены одновременно, деформации даются формулами

Уравнения (3) связывают напряжения и деформации в наиболее общем случае нагрузки нормальными напряжениями. Они, очевидно, согласуются с законом Гука. Однако следует повторить, что они утверждают больше того, что может быть проверено непосредственным опытом, и не являются столь значительными выводами из закона, как основные предположения для теории упругой деформации. Мы заметим, что не могут вместе обратиться в нуль, если не выполняются равенства:

Поэтому одномерная деформация будет вызывать напряжение во всех трех направлениях. В § 113 было найдено, что одномерное напряжение вызывает деформацию во всех трех направлениях. Это составляет одну из трудностей нашей науки. О кубике [таком, как (d) на рис. 36], который подвержен нагрузке на более чем одной паре противоположных граней, говорят, что он находится в состоянии «комбинированного» или сложного напряжения.