Тонкостенные сосуды под действием внутреннего давления

253. В заключение этой главы рассмотрим пример, принадлежащий к другому классу задач, решение которых можно получить также приближенными методами. Будем

рассматривать сосуды (например котлы), подверженные действию внутреннего давления. Стенки сосудов имеют малую по отношению к радиусу кривизны толщину. Две из этого рода задач (круглая труба и сферическая оболочка) уже были изучены в §§ 152—154 главы

Деформация, вследствие действия давления, выражается в растяжении и изгибе стенок. Сопротивление деформации изгиба определяется жесткостью при изгибе (§ 231). Жесткость при изгибе зависит от третьей степени толщины. Сопротивление растяжению, очевидно, пропорционально толщине. Следовательно, если стенки тонкие, то доминировать будут растягивающие напряжения. Мы можем получить достаточно точные сведения о распределении напряжений, если совершенно пренебрежем эффектом изгиба и будем рассматривать (по сути дела) стенки как гибкие мембраны.

Рис. 84.

Задача в общем случае трудна даже при таком упрощающем предположении. Легко получить некоторые результаты из соображений симметрии, когда сосуд (как, например, в приведенных ниже задачах) имеет форму тела вращения.

Примеры

17. (Camb. М. S. Т. 1931.) Полый тор имеет радиус средней линии радиус окружности, получающейся в сечении тора, и толщину стенки Сечение тора показано на рис. 84. Тор подвергается действию внутреннего давления величины

Показать, что в точке сечения, указанного на рисунке кольцевые растягивающие напряжения в торе выражаются формулой:

Найти выражения для нормального напряжения в той же точке поперечного сечения.

[Если мы допустим, что эффектом изгиба можио пренебречь, то силы, вызванные в напряжениями в стенках трубы, должны действовать по линии Тогда, рассматривая равновесие в направлении перпендикулярном той части кольца (указанной

штриховкой), которая находится между сечениями, проведенными через и получаем силу, которая вызывается внутренним давлением. Она равна:

Касательная в точке наклонена под углом к рассматриваемому направлению и мы имеем:

где - результирующая сила растяжения, отнесенная к единице длины, вызываемая кольцевыми растягивающими напряжениями.

Следовательно, это напряжение равно:

Для того чтобы найти нормальное напряжение в поперечном сечении в точке мы, как и раньше, обозначим через в угол и рассмотрим равновесие половины кольца (показанного черным). Это кольцо образовано вращением элементарной дуги вокруг оси тора. Внутреннее давление (действующее по вызывает результирующую силу, действующую на половину кольца в плоскости Ее величина равна:

Сила растяжения вызывает результирующую силу, лежащую в той же плоскости величины

Разность сил растяжения, действующих по двум торцевым сечениям полукольца, равна

Пусть будет искомое нормальное напряжение. Тогда, так как две силы (III) и (IV) уравновешиваются напряжением и, действующим по двум концевым сечениям полукольца (площадь каждого то мы найдем, что

18. (Camb. М. S. Т. 1932.) Прямая труба, поперечное сечение которой показано на рисунке (см. стр. 334), подвержена действию внутреннего давления величины Толщина трубы постоянна и мала по сравнению с размерами а Влиянием концевых связей и искривлением поперечного сечения можно пренебречь.

Показать, что изгибающий момент в точке О, отнесенный к единице длины трубы, выражается формулой