ВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Область рациональных чисел

1. Предварительные замечания.

Из школьного курса читателю хорошо знакомы рациональные числа и их свойства. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из целых положи, тельных (натуральных) чисел, например, , т. е. нет такой рациональной дроби и — натуральные числа), квадрат которой был бы равен 2.

Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь , что Мы вправе считать эту дробь несократимой, т. е. лишёнными общих множителей. Так как есть число чётное: (r — целое) и, следовательно, — нечётное. Подставляя вместо его выражение, найдём: откуда следует, что — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. Его диагональ не может иметь рациональной длины у, ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен 2, что, как мы видели, невозможно.

В настоящем введении мы ставим себе задачей расширить область рациональных чисел, присоединив к ним числа новой природы — иррациональные. Вместе с тем мы покажем, что в расширенной области останутся справедливыми все привычные свойства рациональных чисел, относящиеся к арифметическим действиям над ними и к сочетанию их с помощью знаков равенства и неравенства. Для того чтобы сделать реально возможной проверку упомянутых свойств для расширенной числовой области, очень важно выделить наименьшее

количество основных свойств, из которых все остальные вытекали бы уже как формально-логические следствия: тогда проверке будут подлежать лишь эти основные свойства.

В связи с этим мы приводим ниже перечень основных свойств области рациональных чисел. Попутно мы на ряде примеров показываем, как другие известные их свойства выводятся из основных совершенно формально. Говоря о «числах», мы здесь всегда имеем в виду рациональные числа: буквы и т. д. обозначают именно их.