§ 3. Некоторые приложения теории неявных функций

211. Относительные экстремумы.

Рассмотрим вопрос об экстремуме функции от переменных в предположении, что эти переменные подчинены еще уравнениям связи

Мы уточним понятие о таком относительном экстремуме и укажем приемы для его разыскания.

Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи, функция имеет относительный максимум (минимум), если неравенство

выполняется в некоторой окрестности точки для всех ее точек удовлетворяющих уравнениям связи.

Мы будем предполагать, что как функция так и функции Ф, имеют в окрестности рассматриваемой точки непрерывные частные производные по всем аргументам. Пусть, далее, в точке отличен от нуля хоть один из определителей порядка, составленных из матрицы частных производных

например, определитель

Тогда, если ограничиться достаточно малой окрестностью точки по теореме IV система (1) равносильна системе вида

где суть неявные функции, определяемые системой (1). Иными словами, требование, чтобы значения переменных удовлетворяли уравнениям связи (1), можно заменить предположением, что переменные представляют собой функции (4) от Таким образом, вопрос об относительном экстремуме для функции от переменных в точке сводится к вопросу об обыкновенном (абсолютном) экстремуме для

сложной функции от переменных

в точке

Эти соображения указывают и на реальный путь для нахождения точки, доставляющей относительный экстремум функции если мы умеем фактически разрешить уравнения связи, например, относительно переменных и найти явные выражения для функций (4), то дело сводится к нахождению абсолютного экстремума для сложной функции (5). Собственно говоря, мы так именно и поступали в ряде ранее решенных задач [200, 201], например, когда мы искали наименьшее значение для суммы при условии

Укажем теперь другой путь для нахождения точки не предполагая, что мы имеем явные выражения для (неявных) функций (4), хотя существованием этих функций мы будем пользоваться и здесь.

Итак, пусть в точке функция имеет относительный экстремум или - что то же - сложная функция (5) в точке имеет экстремум абсолютный. Тогда, по замечанию I п° 196, в этой точке должен обращаться в нуль ее дифференциал и притом - тождественно относительно дифференциалов независимых переменных По инвариантности формы первого дифференциала [185], это условие можно записать так:

где под разумеются дифференциалы функции (4) в точке в то время как частные производные вычислены в точке ибо (как явствует из теоремы IV)

Из (6) нельзя, конечно, заключить о равенстве нулю коэффициентов при дифференциалах, так как не все эти дифференциалы произвольны. Для того чтобы свести дело к произвольно выбираемым дифференциалам, т. е. к дифференциалам независимых переменных, мы постараемся исключить отсюда дифференциалы переменных зависимых. Это легко сделать, если продифференцировать полным образом уравнения связи (1), разумея под функции

Здесь, как и выше, ввиду (7), частные производные вычислены в точке Так как, по предположению, определитель (3) в этой точке - не нуль, то могут быть отсюда линейно выражены через Если эти выражения подставить в (6), то получится равенство вида

где означают выражений, рациональных относительно частных производных функций и здесь взятых в точке Так как в этом равенстве фигурируют только дифференциалы независимых переменных, то в точке имеем

Вместе с уравнениями связи это дает уравнений для определения неизвестных .

Конечно, мы установили лишь необходимые условия для экстремальной точки Но и в таком виде условия могут быть полезны даже для разыскания наибольшего (или наименьшего) значения функции при условиях (1), если по характеру вопроса наперед ясно, что внутри рассматриваемой области должна существовать точка, где это наибольшее (наименьшее) значение достигается, или если такое допущение сделано в порядке наведения, с тем чтобы найденную точку апробировать другими соображениями.

Примеры приведены ниже, в 214.