129. Дополнительный члеп формулы Лагранжа.

Обратимся теперь к оценке разности где х есть любое фиксированное значение в промежутке отличное от узлов интерполирования. Предположим, что функция в этом промежутке имеет производные всех порядков до включительно.

Какова бы ни была постоянная К, функция

тоже имеет производных и к тому же обращается в 0 в узлах Мы выберем теперь постоянную К так, чтобы и при было т. е. положим

(так как то По теореме Ролля промежутках между от корнями функции найдется различных корней ее производной Применяя снова теорему Ролля к функции промежуткам между ее корнями, установим существование различных корней второй производной Продолжая это рассуждение, на его шаге придем к существованию корня I (от производной так что

Но , ибо степень многочлена не выше Учитывая определение вспомогательной функции имеем

так что из (6) получается, что

Окончательно, из (5) находим:

Это - интерполяционная формула Лагранжа с дополнительным членом. В отличие от (2), она является точной!

Замечание. Если в промежутке

то, так как в этом промежутке получаем такую оценку для погрешности формулы (2)

Правая часть при стремится к нулю лишь для очень узкого класса функций например, это будет иметь место для таких функций, которые в дифференцируемы любое число раз, причем все их производные ограничены одной постоянной М. В этом случае по мере возрастания числа узлов интерполирования и независимо от закона, по которому выбираются эти узлы, погрешность формулы (2) будет равномерно стремиться к нулю. Как доказал Марцинкевич (J. MardrJdewicz), для каждой отдельно взятой непрерывной функции можно достигнуть такого же эффекта путем надлежащего выбора последовательных систем узлов. Но - по теореме Фабера - не существует такого закона выбора узлов, который годился бы в этом смысле для всех непрерывных функций одновременно. В подробности относительно этих и им подобных вопросов мы здесь входить не имеем возможности.