118. Примеры.

1) Найдём при помощи формулы Лейбница (1) производную

Положим Тогда

Таким образом, в формуле (1) все слагаемые, кроме трёх первых, равны нулю, и мы получаем:

2) Возвращаясь к примеру 7), 116, теперь мы можем получить общее выражение для производной функции

непосредственно по формуле Лейбница:

3) Найдём выражение для производной функции

Имеем, прежде всего,

к что, по формуле Лейбница,

Если теперь к вычислению последовательных производных от применить формулы, полученные в 116, 2), то придем к результату

4) Требуется найти значения всех последовательных производных функции при

Так как то Возьмем производную от обеих частей равенства (пользуясь формулой Лейбница):

ложим здесь если значения производных при отмечать значками то получим:

При производная обращается в . Из найденго соотношения ясно, что всегда Что же касается производных четного порядка, то имеем для них рекуррентную формулу:

шимая во внимание, что получаем отсюда:

Тот же результат можно было бы получить и из общей формулы примера 116.

5) То же - для функции

Указание. Формулу Лейбница применить к соотношению;

Ответ: Этот результат из их выражений в 3) получается не столь просто.

6) Многочлены Лежандра. В заключение остановимся на важных многочленах, носящих имя Лежандра (А. М. Legendre). Они определяются равенствами

где постоянным коэффициентам придаются те или иные значения в зависимости от соображений удобства.

Прежде всего убедимся в том, что многочлен (степени имеет различных вещественных корней, которые все содержатся между -1 и Для простоты положим пока

Легко видеть, что многочлен и его последовательных производных обращаются в нуль при ±1. Тогда первая ее производная, по теореме Ролля [111], будет иметь корень и между - 1 и по той же теореме, вторая производная будет иметь два корня между -1 и +1, и т. д. вплоть до производной, которая, помимо корней -1 и будет между ними иметь еще корней. Применив к ней еще раз теорему Ролля, придем к требуемому заключению.

Сохраняя коэффициенты определим теперь значения многочлена при

По формуле Лейбница, рассматривая степень как произведение на можно написать:

Так как все слагаемые, начиная со второго, содержат множитель и, следовательно, обращаются в 0 при то очевидно:

Аналогично получаем:

Если в формуле, дающей общее определение многочлена Лежандра положить в частности

то получится многочлен, который чаще всего встречается; его именно мы будем впредь всегда обозначать через Он характеризуется тем, что в точках принимает значения

С помощью формулы Лейбница легко установить далее, что многочлены Лежандра удовлетворяют следующему соотношению:

которое играет важную роль в теории этих многочленов.

В самом деле, полагая имеем

Возьмем теперь производные от обеих частей последнего равенства; по формуле Лейбница,

Отсюда

и, по умножении на получается доказываемое соотношение.