172. Лемма Больцано—Вейерштрасса.

Для дальнейшего изложения нам понадобится обобщение леммы Больцано-Вейерштрасса [41] на случай последовательности точек в пространстве любого числа измерений; как всегда, мы ограничимся «плоским» случаем.

Лемма. Из любой ограниченной последовательности точек

всегда можно извлечь такую частичную последовательность

которая сходилась бы к предельной точке.

1-е доказательство мы проведем, перенеся на рассматриваемый случай рассуждение, которым мы пользовались в «линейном» случае [41].

Рис. 98.

Ввиду ограниченности данной последовательности точек, найдется такой (конечный) прямоугольник в котором она целиком содержится. Разделим как промежуток значений х, так и промежуток значений у пополам:

Комбинируя каждую из половин первого промежутка с каждой из половин второго, мы получим четыре прямоугольника:

на которые разлагается основной прямоугольник (рис. 98).

Хоть в одной из этих частей будет содержаться бесконечное множество точек данной последовательности, ибо, в противном

случае, и во всем прямоугольнике их содержалось бы лишь конечное число, что невозможно. Пусть будет тот из прямоугольников (I), (II), (III), (IV), в котором содержится бесконечное множество точек нашей последовательности (или один из таких прямоугольников, если их несколько).

Полученный прямоугольник снова разложим на четыре меньших прямоугольника и возьмем тот из них, в котором содержится бесконечное множество точек данной последовательности; обозначим его через

Этот процесс последовательного дробления прямоугольников мы представляем себе продолжающимся до бесконечности. На стадии его мы выберем прямоугольник под условием, что в нем содержится бесконечное множество точек Измерения этого прямоугольника

стремятся к 0 при

Применим теперь в отдельности к последовательности промежутков значений х и к последовательности промежутков значений у лемму о вложенных промежутках [38]. Из нее следует, что концы промежутков а также стремятся, соответственно, к общим пределам:

Можно сказать, что последовательность прямоугольников «стягивается» в точку

Теперь, взяв в качестве любую точку нашей последовательности, попадающую в прямоугольник мы станем затем поочередно выделять точки выбирая - в общем случае - в качестве любую точку последовательности, следующую за ранее выбранными и содержащуюся в прямоугольнике Это сделать можно именно потому, что каждый из прямоугольников содержит бесконечное множество точек

Так как

то, ввиду (6),

так что выделенная частичная последовательность сходится к точке как к предельной [166].

II-е доказательство. Проще, однако, поступить иначе, использовав теорему, уже доказанную в 41 для случая линейной последовательности

Если точки нашей последовательности содержатся в конечном прямоугольнике то

Применив теорему п° 41 сначала к последовательности выделим частичную последовательность сходящуюся к некоторому пределу х. Таким образом, для частичной последовательности точек

первые координаты уже имеют предел. Вторично применим упомянутую теорему к последовательности вторых координат и выделим такую частичную последовательность которая тоже стремится к некоторому пределу у. Тогда, очевидно, частичная последовательность точек

будет стремиться к предельной точке

Заметим и здесь, что оба рассуждения легко переносятся на случай пространства измерений. В первом из них, например, изменяется только число частей, на которые распадается заданная прямоугольная область, если разделить пополам каждый из определяющих ее промежутков; в общем случае этих промежутков будет а частей - всего