111. Теорема Ролля.

В основе многих теорем и формул дифференциального исчисления и его приложений лежит следующая простая, но важная теорема, связываемая с именем Ролля (М. Rolle) .

Теорема Ролля. Пусть 1) функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке существует конечная производная по крайней мере, в открытом промежутке на концах промежутка функция принимает равные значения:

Тогда между а и найдется такая точка, с что

Доказательство. непрерывна в замкнутом промежутке и потому, по 2-й теореме Вейерштрасса [85], принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение М, так и свое наименьшее значение .

Рассмотрим два случая:

. Тогда в промежутке сохраняет постоянное значение: в самом деле, неравенство в этом случае дает при всех поэтому во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из

2. . Мы знаем, что оба эти значения функцией достигаются, но, так как то хоть одно из них достигается в некоторой точке с между . В таком случае из теоремы Ферма

следует, что производная в этой точке обращается в нуль. Теорема доказана.

На геометрическом языке теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривой равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси х (рис. 50).

Рис. 50.

Обращаем внимание на то, что непрерывность функции в замкнутом промежутке и существование производной во всем открытом промежутке существенны для верности заключения теоремы. Функция удовлетворяет в промежутке [0,1] всем условиям теоремы, за исключением того, что имеет разрыв при , а производная везде в (0,1). Функция, определяемая равенствами при при также удовлетворяет всем условиям в том же промежутке, исключая лишь то обстоятельство, что при не существует (двухсторонней) производной; в то же время производная равна в левой половине промежутка в правой.

Точно так же существенно и условие 3) теоремы: функция в промежутке [0,1] удовлетворяет всем условиям теоремы, кроме условия 3), а ее производная повсюду.

Чертежи предоставляем читателю.