101. Бесконечные производные.

Если отношение приращений — при стремится к то это несобственное число также назьюают производной (и обозначают как обычно). Аналогично устанавливается понятие об односторонней бесконечной производной. Геометрическое истолкование производной как углового

коэффициента касательной распространяется и на этот случай; но здесь - касательная оказывается параллельной оси у (рис. 43, а, б, в, г).

В случаях (а) и (б) эта производная равна, соответственно, (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях же (в) и односторонние производные разнятся знаками.

Рис. 43.

Пусть, например, при формула 3, 95 дает

но она неприложима при . В этой точке вычислим производную, исходя непосредственно из ее определения; составив отношение

видим, что его пределом при будет Аналогично убеждаемся, что для функции при производная слева равна - а справа

Пользуясь расширением понятия производной, можно дополнить теорему п° 94 о производной обратной функции указанием, что и в тех случаях, когда равна 0 или производная обратной функции существует и равна, боответственно или 0. Например, так как функция при имеет производную то для обратной функции при существует бесконечная производная (именно,