239. Примеры.

1) Найти огибающую для семейства окружностей

(рис. 141).

Дифференцируем по Исключая а, получим или две прямые, параллельные оси х, которые, очевидно, составляют огибающую.

2) Найти огибающую различных положений прямой, скользящей двумя точками, находящимися друг от друга на постоянном расстоянии а, по осям координат (рис. 142).

Рис. 141.

Рис. 142.

Взяв за параметр угол в, составленный перпендикуляром к движущейся прямой с осью х, уравнение прямой можно написать в виде

Дифференцируем по 0

Иначе это можно написать так:

откуда

Читатель узнает в этих уравнениях параметрическое представление астроиды [224, 4): , которая в данном случае и является огибающей.

С этим свойством астроиды мы уже однажды сталкивались [231, 3)].

3) Во многих случаях огибающая как бы ограничивает («огибает») часть плоскости, занятую кривыми семейства. Что это не всегда так, показывает пример:

(рис. 143).

Здесь огибающей служит ось х, пересекающая все кривые семейства. Аналогичное обстоятельство проявляется и в следующем, более сложном примере.

4) Найти огибающую семейства (параболы).

Сопоставляя это уравнение с уравнением

получим либо либо так что дискриминантная кривая состоит из прямой и кривой Первая касается всех парабол в вершинах.

Вторая имеет с каждой параболой три общие точки: касается ее прих пересекает при

5) Рассмотрим эллипс

Станем искать огибающую семейства окружностей, построенных, как на диаметрах, на хордах эллипса, параллельных оси у (рис. 144).

Рис. 143.

Рис. 144.

Приняв за параметр абсциссу t центра окружности, напишем уравнение этого семейства в виде:

причем изменяется в промежутке . Имеем

Подставив это значение t в уравнение мы получим уравнение огибающей в следующем виде:

или, после преобразований:

Мы пришли к эллипсу с теми же осями симметрии, что и данный.

Любопытно отметить, что этот эллипс касается не всех окружностей семейства. Это обстоятельство легко усмотреть, если не исключать t из уравнений а выразить из них через t:

Действительно, отсюда сразу видно, что выражение для у может быть вещественным лишь при Значит, только для части семейства окружностей, соответствующей указанным значениям существует огибающая.

Этот поучительный пример показывает, что параметрическое задание огибающей может оказаться более выгодным, потому что из него легче усмотреть, для какой части данного семейства огибающая действительно существует.

6) Для семейства концентрических окружностей

огибающей нет: дифференцирование по а сразу приводит к невозможному равенству

7) Рассмотрим два семейства полукубических парабол

и

(рис. 145). Дискриминантная кривая будет

и в обоих случаях является носительницей особых точек. Но в случае она все же одновременно будет огибающей; в случае (а) огибающей нет.

8) Более сложный пример такого же типа дает другое семейство полукубических парабол:

(рис. 146). Здесь дискриминантная кривая распадается на две прямые:

Рис. 145.

Рис. 146.

Первая является лишь геометрическим местом особых точек, а вторая будет огибающей.

9) Наконец, рассмотрим семейство прямых

Если продифференцировать по и исключить t из обоих уравнений, то получим, как результат исключения:

Это уравнение представляет две прямые: которые входят в состав данного пучка Ни одна из них не является ни огибающей, ни носительницей особых точек. Огибающей в этом случае нет.

Этот пример иллюстрирует указанную нами ранее возможность того, что уравнение (10) представит не огибающую, а одну или несколько кривых семейства. Если бы мы, не исключая t, попытались выразить х и у через при переменном t, то это оказалось бы невозможным.