165. Предел функции нескольких переменных.

Предположим, что функция определена в некотором точечном множестве допускающем точку сгущения

Аналогично определению предела функции от одной переменной, говорят, что функция имеет пределом число А при стремлении переменных соответственно, к если для каждого числа найдется такое число что

лишь только

При этом точка предполагается взятой из и отличной от Итак, неравенство для функции должно выполняться во всех точках множества лежащих в достаточно малой окрестности

точки но исключая саму эту точку (если она принадлежит Обозначают предел функции так:

В геометрических терминах, вводя для точек обозначения М и можно было бы перефразировать приведенное определение так: число А называется пределом функции при стремлении точки М к (или - в точке ), если для каждого числа существует такое число что

лишь только расстояние

Как и выше, точка М предполагается взятой из но отличной от Таким образом, неравенство для функции должно выполняться

во всех точках множества лежащих в достаточно малой сферической окрестности точки за исключением самой этой точки.

Обозначение предела функции также можно приспособить к этому определению:

Из замечания п° 161 об окрестностях разных типов непосредственно ясна тождественность обоих приведенных определений.

Аналогично устанавливается понятие о бесконечном пределе функции. В случае или - неравенство

лишь заменяется, соответственно, неравенством вида

или

где Е есть произвольное наперед взятое положительное число.

Упомянем в заключение о случае, когда некоторые из независимых переменных стремятся к бесконечным пределам.

Можно было бы распространить понятие точки сгущения области и на тот случай, когда все координаты этой точки (или некоторые из них) бесконечны.

Например, точка является для точкой сгущения, если в этой области найдутся точки со сколь угодно большими (положительными) координатами.

В этом предположении, говорят, что функция имеет пределом число А при стремлении всех переменных если для каждого числа существует такое число что

лишь только

В обозначениях:

В частности, возвращаясь к переменной о которой была речь в конце п° 160, говорят, что эта переменная при безграничном

возрастании обоих номеров тип имеет пределом А, если для каждого найдется такой номер что

Записывают это так:

Легко понять, как трактуется случай, когда или