§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции

141. Определение выпуклой (вогнутой) функции.

После класса монотонных функций, возрастающих или убывающих, выделяется класс так называемых выпуклых или вогнутых функций.

Функция определенная и непрерывная в промежутке X, называется выпуклой (выпуклой вниз), если для любых точек из выполняется неравенство

каковы бы ни были положительные числа в сумме дающие единицу. Функция называется вогнутой (выпуклой вверх), если - вместо (1) - имеем

Очевидно, что, если функция выпукла (вогнута), то функция оказывается вогнутой (выпуклой), и наоборот. Это простое замечание позволит нам во многих случаях ограничиваться изучением лишь выпуклых функций.

Приведенное определение выпуклой функции имеет простой геометрический смысл. Прежде всего отметим, что выражение

при наложенных на условиях, содержится между обратно, каждое число х, которое содержится между и может быть единственным образом представлено в указанной форме, с коэффициентами

и

Рис. 71.

Если рассмотреть график функции (рис. 71) и его дугу между точками

то в левой части неравенства (1) - при коэффициентах (2а) - мы имеем ординату точки А дуги с абсциссой х. В правой же части этого неравенства стоит ордината точки В хорды

с той же абсциссой. Таким образом, выпуклая функция характеризуется тем, что все точки любой дуги ее графика лежат под

соответствующей хордой или на ней. (В случае вогнутой функции вместо «под» следовало бы сказать «над».) Одновременно с самой функцией выпуклой (вогнутой) называют и кривую .

Тривиальным примером выпуклой ( - одновременно - вогнутой) функции служит линейная функция для нее соотношение (1) выполняется всегда со знаком равенства. Выпуклой функцией будет и функция что легко проверить непосредственно по определению:

если Другие примеры выпуклых функций читатель найдет ниже.