57. Предел монотонной функции.

Вопрос о самом существовании предела функции

особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной варианты [34].

Пусть функция определена в некоторой области Функция называется возрастающей (убывающей) в этой области, если для любой пары принадлежащих ей значений

Если

то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) - но в широком смысле.

Функции всех этих типов носят общее название монотонных. Для монотонной функции имеет место теорема, вполне аналогичная той теореме о монотонной варианте, которая была установлена в 34.

Теорема. Пусть функция монотонно возрастает, хотя бы в широком смысле, в области X, имеющей точкой сгущения число а, большее всех значений х (оно может быть конечным или равным Если при этом функция ограничена сверху:

то при функция имеет конечный предел; в противном случае она стремится к

Доказательство. Допустим сначала, что функция ограничена сверху, т. е. ограничено сверху множество значений функции, отвечающих изменению х в области X. Тогда для этого множества существует [11] конечная точная верхняя граница А. Докажем, что это число А и будет искомым пределом.

Задавшись произвольным числом по свойству точной верхней границы, найдем такое значение что Ввиду монотонности функции, для и подавно будет: Так как, с другой стороны, всегда то для упомянутых значений х выполнится неравенство

Это и доказывает наше утверждение, стоит лишь при а конечном положить а при взять

Если функция сверху не ограничена, то, каково бы ни было число Е, найдется такое х, что тогда для и подавно и т. д.

Предоставляем читателю преобразовать эту теорему для случая, когда предельное значение а меньше всех значений х, равно как и для случая монотонно убывающей функции.

Легко усмотреть, что теорема о монотонной варианте в 34 есть просто частный случай этой теоремы. Независимой переменной там был значок областью изменения которого служил натуральный ряд с точкой сгущения

В последующем нам чаще придется в качестве области X, в которой рассматривается функция встречать сплошной промежуток , где - конечное число или либо же - промежуток , где конечное число или