92. Определение производной.

Сопоставляя операции, которые мы осуществляли при решении рассмотренных выше фундаментальных задач, легко усмотреть, что в обоих случаях - если отвлечься от различия в истолковании переменных - по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение независимой переменной и затем вычислялся предел их отношения. Таким путем мы и приходим к основному понятию дифференциального исчисления - к понятию производной.

Пусть функция определена в промежутке X. Исходя из некоторого значения независимой переменной, придадим ему приращение не выводящее его из промежутка X, так что и новое значение принадлежит этому промежутку. Тогда значение функции заменится новым значением т. е. получит приращение

Предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной при стремлении к 0, т. е.

(страница пропущена)

Именно, если приращению времени отвечает приращение скорости то отношение

выразит среднее ускорение за промежуток времени а предел его даст ускорение движения в данный момент времени:

Таким образом, ускорение есть производная от скорости по времени.

Обратимся к учению о теплоте - и с помощью производной установим понятие теплоемкости тела при данной температуре.

Обозначим "входящие в вопрос физические величины следующим образом: в - температура (в градусах С), - количество тепла, которое нужно сообщить телу, при нагревании его от 0° до (в калориях). Ясно, что W есть функция от Придадим некоторое приращение тогда также получит приращение Средняя теплоемкость при нагревании от до будет

Но так как, вообще говоря, при изменении эта средняя теплоемкость меняется, мы не можем принять ее за теплоемкость при данной температуре в. Для получения последней нужно перейти к пределу:

Итак, можно сказать, что теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре.

Наконец, возьмем пример из учения об электричестве: установим понятие о силе переменного тока в данный момент.

Обозначим через t время (в секундах), отсчитываемое от некоторого начального момента, а через — количество электричества (в кулонах), протекавшего за это время через поперечное сечение цепи. Очевидно, что есть функция от t: Повторив предыдущие рассуждения, получим, что средняя сила тока за промежуток времени будет

а сила тока в данный момент выразится пределом

т. е. сила тока есть производная от количества протекшего электричества по времени.

Все эти применения производной (число которых легко было бы увеличить) с достаточной яркостью обнаруживают тот факт, что понятие производной существенным образом связано с основными понятиями из различных областей знания.

Вычисление производных, изучение и использование их свойств и составляет главный предмет дифференциального исчисления.

Для обозначения производной употребляют различные символы:

Мы будем пользоваться преимущественно простыми обозначениями Лагранжа. Если применяют функциональное обозначение (см. второй столбец), то буква в скобках указывает то именно значение независимой переменной, при котором берется производная. Наконец, заметим, что в случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная (по сравнению с которой устанавливается «скорость изменения функции»), эта переменная указывается в виде значка внизу:

причем значок х не связан с тем частным значением независимой переменной, при котором берется производная.

[В некотором смысле, можно сказать, что цельные символы

играют роль функциональных обозначений для производной функции.]

Запишем теперь, пользуясь введенными для обозначения производных символами, некоторые из полученных выше результатов. Для скорости движения имеем:

а для ускорения

Аналогично, угловой коэффициент касательной к кривой напишется так: