25. Примеры.

1) Рассмотрим варианты

им отвечают такие последовательности значений:

Все три переменные представляют собой бесконечно малые, т. е. имеют пределом 0. Действительно, для них

лишь только Таким образом, в качестве N, можно, например, взять наибольшее целое число, содержащееся в

Отметим, что первая переменная все время больше своего предела 0, вторая - все время меньше его, третья же - попеременно становится то больше, то меньше его.

2) Если положить

то переменная пробегает такую последовательность значений:

И в этом случае так как

для так что за можно принять

Мы сталкиваемся здесь с любопытной особенностью: переменная поочередно то приближается к своему пределу 0, то удаляется от него.

3) Пусть теперь

с этой вариантой мы уже имели дело в конце 22. Здесь также ибо

лишь только

Отметим, что для всех нечетных значений переменная оказывается равной своему пределу.

Эти простые примеры интересны тем, что они характеризуют многообразие тех возможностей, которые охватываются данным выше определением предела варианты. Несущественно, лежат ли значения переменной с одной стороны от предела или нет; несущественно, приближается ли переменная с каждым шагом к своему пределу; несущественно, наконец, достигает ли переменная своего предела, т. е. принимает ли значения, равные пределу. Существенно лишь то, о чем говорится в определении: переменная должна отличаться от предела сколь угодно мало в конце концов, т. е. для достаточно далеких своих значений.

4) Возьмем более сложный пример варианты:

докажем, что ее пределом будет число —

С этой целью рассмотрим разность

и оценим ее абсолютную величину; для имеем:

так что это выражение меньшее, если Этим доказано, что

5) Определим варианту формулой

и докажем, что

Если воспользоваться неравенством (3) в 19, то можно написать:

Можно, однако, рассуждать и иначе. Неравенство

равносильно такому:

так что оно выполняется при

В соответствии с выбранным способом рассуждения мы пришли к различным выражениям для Например, при получаем по первому способу и по По второму способу мы получили наименьшее из возможных значений для ибо уже отличается от 1 больше, чем на . То же будет и в общем случае, ибо, как легко видеть, при

Заметим по этому проводу, что мы вовсе не заинтересованы именно в наименьшем возможном значении если речь идет только об установлении факта стремления к пределу. Должно быть гарантировано выполнение неравенства (3), начиная хоть с какого-нибудь места, далекого или близкого - безразлично.

6) Важный пример бесконечно малой дает варианта

Для доказательства того, что рассмотрим неравенство

оно равносильно таким:

Таким образом, если положить (считая )

то при упомянутое неравенство наверное выполнится.

Аналогично, легко убедиться в том, что и варианта

где по-прежнему постоянное число, также есть бесконечно малая.

7) Рассмотрим, далее, бесконечную убывающую геометрическую прогрессию

и поставим вопрос об определении ее суммы.

Под суммой бесконечной прогрессии, как известно, разумеется предел, к которому стремится сумма ее членов при безграничном возрастании Но

так что варианта разнится от постоянного числа на величину которая, как мы только что видели, является бесконечно малой. Следовательно, по второму определению предела, искомая сумма прогрессии

Таким образом, это число является суммой бесчисленного множества членов прогрессии, что записывают так:

8) Пусть даны два числа а и . Положим , а последующие значения варианты определим равенством

Этим варианта , действительно, задана, так как, полагая здесь можно последовательно найти все ее значения, до любого включительно.

Если из обеих частей написанного равенства вычесть по то получим 1

Таким образом, в ряду разностей

каждая (начиная со второй) получается из предыдущей умножением на - , т. е. мы имеем здесь геометрическую прогрессию со знаменателем . Так как сумма ее членов есть то, пользуясь известной нам [см. (7)] формулой для суммы прогрессии, сразу получаем:

откуда уже легко заключить, что

9) Наподобие геометрической прогрессии можно рассмотреть произвольную последовательность чисел

и, по порядку складывая их, образовать «частичные суммы»:

Если, при безграничном возрастании и, стремится к (конечному или бесконечному) пределу А, то это число называют суммой всех взятых чисел и пишут

Символ в левой части этого равенства называют бесконечным рядом, а число А - его суммой. Про ряд, имеющий конечную сумму, говорят, что он сходится.

Пусть, например, дан ряд

Здесь

так что в данном случае

Очевидно, так что предложенный ряд сходится и млеет суммой единицу.

Если ряд не имеет конечной суммы, про него говорят, что он расходится: таков, например, ряд