113. Предел производной.

Полезный пример такого примения дает следующее замечание. Предположим, что функция непрерывна в промежутке и имеет конечную производную для Если существует (конечный или нет) предел

то такова же будет и производная в точке справа. Действительно, при имеем (1а). Если , то ввиду ограниченности величины - аргумент производной стремится к так что правая часть равенства, а с нею и левая стремится к пределу Аналогичное утверждение устанавливается и для левосторонней окрестности точки

Рассмотрим в качестве примера функцию

в промежутке . Если , то по обычным правилам дифференциального исчисления легко найти:

При эта производная, очевидно, стремится к пределу значит и при существуют (односторонние) производные

Часто сделанное замечание применяется при следующих обстоятельствах: из того факта, что найденное для производной выражение стремится к при приближении с той или другой стороны, делается заключение, что в самой точке соответствующая односторонняя производная равна

Например, если вернуться к функциям которые мы рассматривали в п° 101, то для них (при имеем:

Так как первое из этих выражений при стремится к а второе при или при имеет, соответственно, пределы или то заключаем, что для в точке существует двусторонняя производная: , в то время как для в этой точке существуют лишь односторонние производные: справа и слева.

Из сказанного вытекает также, что, если конечная производная существует в некотором промежутке, то она представляет собою функцию, которая не может иметь обыкновенных разрывов или скачков: в каждой точке она либо непрерывна, либо имеет разрыв рода