24. Бесконечно малые величины.

Случай, когда варианта стремится к нулю: 0, представляет особый интерес.

Варианта имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной, или просто бесконечно малой.

Если в определении предела варианты [23] положить то неравенство (3) примет вид

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»:

Варианта называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остается меньшей сколь угодно малого наперед заданного числа начиная с некоторого места.

Не вполне удачный (исторически сложившийся) термин «бесконечно малая» величина должен вводить читателя в заблуждение: ни одно в отдельности взятое значение этой величины, если оно не нуль, не может квалифицироваться, как «малое». Суть дела в том, что это - переменная величина которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться меньшей произвольно взятого числа .

Если вернуться к общему случаю варианты имеющей предел а, то разность

между переменной и ее пределом, очевидно, будет бесконечно малой: ведь, в силу (3),

Обратно, если есть бесконечно малая, то Это приводит нас к следующему утверждению:

Для того чтобы варианта имела своим пределом постоянное число а, необходимо и достаточно, чтобы разность между ними была бесконечно малой.

В связи с этим можно было бы дать и для понятия «предел» другое определение (равносильное старому):

Постоянное число а называется пределом варианты если разность между ними есть бесконечно малая величина.

Разумеется, если исходить из этого определения предела, то для бесконечно малой нужно использовать второе из приведенных выше определений. Иначе получился бы порочный круг: предел определялся бы через бесконечно малую, а бесконечно малая - через предел!

Итак, если варианта , то она может быть представлена в виде

где есть бесконечно малая, и обратно, если варианта допускает такое представление, то она имеет пределом а. Этим часто пользуются на практике для установления предела переменной.