§ 3. Касание кривых между собой

238. Огибающая семейства кривых.

Если две кривые имеют общую точку и - в этой точке - общую касательную, то говорят, что кривые касаются в точке . Настоящий параграф посвящен некоторым вопросам, связанным с касанием плоских кривых.

Приступая к рассмотрению огибающей семейства кривых, остановимся сначала на самом понятии семейства кривых. Нам уже не раз приходилось встречаться с уравнениями кривых, в которые, кроме текущих координат х и у переменной точки, входит еще один или несколько параметров. В случае одного параметра, скажем а, уравнение имеет вид

Левая часть является функцией трех переменных, из которых переменную а мы иначе называем лишь потому, что она играет особую роль: для получения конкретной кривой значение параметра а должно быть фиксировано. При изменении этого значения, обычно в пределах некоторого промежутка, будут получаться, вообще говоря, различные (по форме или расположению) кривые.

Совокупность всех этих кривых и называют семейством кривых с одним параметром, а уравнение (1) - уравнением семейства.

Иногда случается, что для подобного семейства кривых существует кривая, которая касается каждой кривой семейства в одной или нескольких точках и притом вся состоит из этих точек касания (рис. 140). Такая кривая носит название огибающей данного семейства. Мы покажем сейчас, как установить, существует ли огибающая, и как найти ее в случае существования.

С этой целью допустим сначала, что огибающая существует.

Рис. 140.

Для простоты предположим, что речь идет об огибающей (точнее - ветви огибающей), которая каждой кривой семейства касается в одной точке. Тогда координаты этой точки касания однозначно определяются указанием кривой семейства, т. е. значением параметра а:

Поскольку огибающая вся состоит из точек касания, эти уравнения и дают параметрическое представление огибающей.

Мы предполагаем существование и непрерывность частных производных функции и производных функций и

Точка (2) лежит на кривой (1), определяемой тем же значением параметра а, так что имеет место такое тождество относительно а:

Продифференцировав его полным образом по а, получим [181, 185]

причем производные вычислены при указанных в (3) значениях аргументов, означают дифференциалы функций (2).

Теперь постараемся аналитически выразить тот факт, что огибающая касается в точке (2) кривой (1). Касательная к кривой (1) [см. 230, (5)]

и к кривой (2) [230 (7)]

должны совпасть. Условие совпадения этих прямых можно написать в виде

При этом, как и выше, под х и у мы разумеем их значения (2), а под - дифференциалы функций (2).

Заметим, что уравнения (5) и (6) действительно выражают касательные к кривым лишь в предположении, что рассматриваемая точка не будет для них особой. Тем не менее, равенство (7) имеет место даже в том случае, если эта точка будет особой для той или другой кривой.

Сопоставляя (7) с (4) и учитывая, что - произвольное число, найдем, что или в развернутом виде:

Тождества (3) и (8) показывают, что функции (2), нам неизвестные, должны тождественно относительно а удовлетворять системе уравнений

Итак, если огибающая существует, ее параметрические уравнения (2) получаются как решения относительно х и у системы (9).

В том случае, когда эта система при переменном а вообще не допускает решений в виде функций от а, положение вещей ясно; огибающей вовсе нет. Предположим же теперь, что в результате решения системы (9) получены уравнения (2), выражающие кривую без особых точек. Будет ли эта кривая огибающей нашего семейства кривых?

Так как функции (2) удовлетворяют уравнениям (9), то выполняются тождества (3) и (8). Дифференцируя первое из них, получим (4), а сопоставляя это с (8), придем к равенству (7). Если точка (2) (ни при одном а) не будет особой на соответствующей кривой (1), так что уравнение (5) действительно выражает касательную к названной кривой, то равенство (7) обусловливает совпадение этой касательной с касательной (6) к кривой (2). В этом случае кривая (2) на самом деле будет огибающей семейства.

В частности, это можно гарантировать, если, например, кривые данного семейства вовсе лишены особых точек.

Наоборот, если такие особые точки имеются и при изменении а геометрическое место их образует кривую (2), то соответствующие ей функции необходимо удовлетворяют системе (9), хотя в этом случае кривая может не быть огибающей.

Итак, при наличии особых точек кривая (2), полученная в результате решения системы (9), подлежит еще проверке: она может быть огибающей, может быть геометрическим местом особых точек на кривых семейства или, наконец, частью - огибающей, частью же - таким геометрическим местом.

Обыкновенно при разыскании огибающей не останавливаются на системе уравнений (9), но идут дальше - исключают из них а. Иными словами, получают соотношение вида

уже не содержащее а и представляющее собой условие, необходимое и достаточное для того, чтобы для пары значений х, у нашлось такое значение а, которое совместно с ними удовлетворяло обоим уравнениям (9).

Все точки кривой (2), полученной решением системы (9), должны удовлетворять уравнению (10). Поэтому, если это последнее уравнение не выражает никакой кривой, то сразу ясно, что огибающей нет. Если же уравнение (10) выражает кривую (ее называют дискриминантной кривой семейства), то она как вьппе подлежит проверке. В ее составе должна оказаться огибающая (если она существует), но должно быть и геометрическое место особых точек (если таковые налицо). Кроме того, здесь есть еще одна неприятная возможность, которую следует исключить проверкой: именно, в состав дискриминантной кривой может попросту входить одна или несколько частных кривых семейства. Так будет в том случае, когда бесконечному множеству точек дискриминантной кривой отвечает одно и то же значение а, совместно с ними удовлетворяющее уравнениям (9).

Все сказанное всего лучше выяснится на примерах.