98. Производная сложной функции.

Теперь мы можем установить весьма важное при практическом нахождении производных правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих функций.

V. Пусть 1) функция имеет в некоторой точке производную функция имеет в соответствующей точке производную Тогда сложная функция в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций

или, короче,

Для доказательства придадим произвольное приращение пусть - соответствующее приращение функции и, наконец, - приращение функции вызванное приращением Воспользуемся соотношением (2а), которое, заменяя на и, перепишем в виде

зависит от и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на получим

Если устремить к нулю, то будет стремиться к нулю и а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от величина а. Следовательно, существует предел

который и представляет собою искомую производную

Замечание. Здесь сказывается полезность замечания в 96 относительно величины а при покуда есть приращение независимой переменной, мы могли предполагать его отличным от нуля, но когда заменено приращением функции то даже при мы уже не вправе считать, что

99. Примеры. Сначала приведем несколько примеров приложения правил I-IV.

1) Рассмотрим многочлен:

По правилу II, а затем I, будем иметь

Использовав же формулы 1, 2, 3 [95], окончательно получим

2) . По правилу III

Опираясь на предыдущий пример и формулу 4 [95], найдем:

3) . По правилу IV,

4) Вычислим снова производную функции исходя из формулы

Пользуясь правилом IV (и формулами 6, 7, 95) получим

5) . Здесь приходится пользоваться сначала правилом IV, а затем правилами II и III (и формулами 6, 7, 95):

Вычисление производных числителя и знаменателя мы произвели, не расчленяя его на отдельные шаги. Путем упражнения необходимо добиться того, чтобы вообще писать производные сразу.

Примеры на вычисление производных сложных функций:

6) Пусть иначе говоря, и, где

По правилу Производная (формула 5) должна быть взята при Таким образом,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

23) В виде упражнения, исследуем еще вопрос о производной степеннопоказательного выражения , где и и «суть функции от х, имеющие в данной точке производные и,

Прологарифмировав равенство получим

Таким образом, выражение для у можно переписать в виде откуда уже ясно, что производная у существует. Самое же вычисление ее проще осуществить, приравнивая производные по х от обеих частей равенства (5). При этом мы используем правила V и III (помня о том, что и, и у суть функции от Мы получим

откуда

или, подставляя вместо у его выражение,

Эта формула впервые была установлена Лейбницем и И. Бернулли (Johann Bernoulli).

Например,

24) Предполагая, что функция имеет производную написать выражения производных для функций

по х, и для функций

Ответ:

По поводу последних трех примеров (г), (д), (е) обращаем внимание читателя на то, что символ означает производную по аргументу х, от которого зависит функция но при значении этого аргумента, соответственно, уже зависящем от сноску на стр. 202.

25) Функция определенная в симметричном относительно 0 промежутке, называется четной, если и нечетной, если [Примерами четных функций могут служить четные степени а также примеры нечетных функций: нечетные степени

Рис. 40.

Доказать, что производная четной функции (если существует) сама является нечетной функцией, а производная нечетной функции сама будет четной.

26) Вычислить производную для функции при

При очевидно, покажем, что та же формула сохраняется и при Действительно, вычисляя производную для функции

как сложной функции, будем иметь

и в этом случае.

27) Рассмотрим кривую

Угловой коэффициент касательной к ней в некоторой ее точке будет [91 - 92]:

По рис. 40 видно, что отрезок (так называемая подкасательная) равен

Это обстоятельство делает легким самое построение касательной. [Обобщение результата п° 91.]

28) Для кривой (цепная линия)

подобным же образом,

На этот раз определим (считая

так что Если из основания ординаты опустить перпендикуляр на касательную то отрезок окажется равным а. Отсюда снова вытекает простой способ построения касательной к рассматриваемой кривой: на ординате как на диаметре, строят полуокружность и из точки делают засечку S радиусом а: прямая и будет касательной.

Рис. 41.

29) Пусть материальная точка колеблется по оси около некоторого среднего положения по закону

Такое колебание носит название гармонического, А - его амплитуда, - частота, а - начальная фаза.

Взяв производную от пути s по времени t, найдем скорость движения:

Наибольшей величины скорость достигает в моменты, когда , т. е. точка проходит через среднее положение. Наоборот, когда точка находится в наибольшем удалении от этого среднего положения скорость

Производная от с по

даст нам ускорение, с которым движется точка; очевидно,

Отсюда, если ввести массу движущейся точки, то, по закону Ньютона, сила под действием которой происходит гармоническое колебание, выразится так:

Как видим, она всегда направлена к среднему положению (ибо имеет знак, обратный знаку и пропорциональна удалению точки от него.

30) Движение, происходящее по закону

называется затухающим колебанием, ибо наличие множителя заставляет точку, хоть и колеблясь около среднего положения, все же стремиться к совпадению с ним:

В этом случае

и

Вводя в скобках еще члены после очевидных преобразований получим

Сила, под действием которой происходит подобное движение, равна

Мы видим, что она слагается из двух сил: 1) из силы, пропорциональной расстоянию точки от среднего положения и направленной к этому среднему положению

(как и в случае гармонического колебания), и 2) из тормозящей движение силы, пропорциональной скорости и направленной обратно скорости.