§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел

18. Существование корня. Степень с рациональным показателем.

Определение умножения (и деления) вещественных чисел непосредственно приводит, как и обычно, к определению степени с целым положительным (и отрицательным) показателем. Переходя к степени с вообще рациональным показателем, остановимся прежде всего на вопросе о существовании корня.

Как мы помним, отсутствие в области рациональных чисел простейших корней послужило одним из поводов к расширению этой области; проверим же, в какой мере произведенное расширение заполнило старые пробелы (не создав при этом новых).

Пусть - любое вещественное число, - натуральное число. Как известно, корнем степени из числа а называют такое вещественное число I, что

Мы ограничимся случаем, когда положительно, и будем искать положительное же удовлетворяющее этому соотношению, т. е. так называемое арифметическое значение корня. Мы докажем, что такое число I всегда существует, и притом только одно.

Последнее утверждение относительно единственности числа впрочем, сразу следует из того, что разным положительным числам соответствуют и разные степени их: если то

Если существует такое рациональное число степень которого равна то оно и будет искомым числом Поэтому впредь достаточно ограничиться предположением, что такого рационального числа нет.

Построим теперь сечение в области всех рациональных чисел следующим образом. К классу X отнесем все отрицательные рациональные числа и нуль, а также те из положительных рациональных чисел х, для которых . К классу отнесем положительные рациональные числа х, для которых

Легко видеть, что классы эти не пустые и что X содержит и положительные числа. Если взять, например, натуральное число так, чтобы было то и подавно так что число — входит в X, а число - в X.

Прочие требования, предъявляемые к сечению, проверяются непосредственно.

Пусть теперь будет число, определяемое сечением докажем, что т. е. что Рассматривая как произведение сомножителей, равных I, на основании определения произведения положительных вещественных чисел [14] заключаем, что

если суть положительные рациональные числа, для которых

Так как, очевидно, х принадлежит классу классу X, то, по определению этих классов, одновременно и

Но разность может быть сделана меньшей любого числа замечание), причем ничто не мешает считать х меньшим некоторого наперед фиксированного числа . В таком случае разн ость

т. е. также может быть сделана сколь угодно малой. Отсюда, лемме 2, и следует равенство чисел .

После того как доказано существование корня, обычным путем устанавливается понятие степени с любым рациональным показателем и проверяется, что для таких степеней справедливы обычные правила, выводимые в курсе элементарной алгебры:

Подчеркнем еще, что при степень возрастает с возрастанием рационального показателя