256. Разыскание эвольвент.

Мы видим, что каждая эвольвента может быть восстановлена по своей эволюте с помощью разворачивания навернутой на эволюту нити или - что по существу то же - путем качения прямой по эволюте (без скольжения).

Докажем теперь обратное утверждение: если прямая катится (без скольжения) по данной кривой, то траектория любой ее точки служит для данной кривой эвольвентой. [Таким образом, каждая кривая имеет бесчисленное множество эвольвент.]

Рис. 164.

Пусть кривая (рис. 164) задана параметрически уравнениями

причем имеют непрерывные производные до второго порядка; допустим также, что на рассматриваемом участке кривой нет кратных и вообще особых точек. Дугу а кривой будем отсчитывать от точки Р.

На касательной в точке Р, направленной в сторону возрастания дуг, возьмем произвольную точку А, расстояние которой от Р (с учетом знака) обозначим через с, и проследим ее траекторию при качении прямой (без скольжения) по данной кривой. При новом положении прямой, когда точкой касания станет точка Р перейдет очевидно,

Если координаты точек и М обозначить, соответственно, через а угол между прямой и осью через то, проектируя отрезок на оси, нетрудно получить:

Эти уравнения и дают параметрическое представление искомой траектории.

Дифференцируя их, найдем

Так как [см. 249 (15)]

то эти результаты упрощаются:

Исключим случаи, когда или тогда, разделив почленно эти формулы, получим

Отсюда уже ясно, что касательные к обеим кривым взаимно перпендикулярны, так что данная кривая действительно является огибающей для семейства нормалей к построенной кривой, т. е. ее эволютой. Значит, построенная кривая служит для данной эвольвентой, ч. и тр. д.

Примером получения эвольвенты указанным путем может служить уже рассмотренная выше эвольвента круга [225, 8); ср. 252, 4)].