§ 4. Замена переменных

217. Функции одной переменной.

Цель этого параграфа — дать представление о формальном процессе замены переменных. Поэтому мы не будем здесь отвлекать внимание выяснением всех условий, при которых производимые манипуляции законны (что к тому же и не представляет никаких трудностей).

Значительная часть содержания настоящего параграфа могла бы быть изложена и раньше; однако нам казалось целесообразным сосредоточить весь материал, связанный с заменой переменных, в одном месте.

Пусть дано некоторое выражение

содержащее независимую переменную функцию от нее у и ряд производных от у по до некоторого порядка. Иной раз требуется перейти в подобном выражении к новым переменным - независимой t и функции от нее и, с которыми старые переменные х и у связаны определенными соотношениями (носящими название формул преобразования). Точнее говоря, требуется представить в функции от t, и и производных от и по

Такая замена переменных обычно мотивируется либо особым интересом, который представляют в рассматриваемом вопросе переменные либо тем упрощением, которое эта замена вносит в само выражение

Остановимся сначала на случае, когда заменяется лишь независимая переменная и дана формула преобразования, непосредственно связывающая х с новой независимой переменной

Предположим, что эта формула преобразования разрешена относительно х:

Если у есть функция от х, то через посредство х она является и функцией от

Мы имели уже в 121 формулы, выражающие производные по х через производные от по

Так как можно считать известными функциями от t [они получаются из (1) дифференцированием], то остается лишь подставить в вместо эти выражения их через

Если формула преобразования дана в неразрешенном относительно х виде:

то задача по существу решается так же, лишь производные вычисляются по правилам дифференцирования неявных функций

Переходя к общему случаю, когда заменяются обе переменные, предположим, что формулы преобразования разрешены относительно старых переменных:

Если у связано функциональной зависимостью с х, то отсюда и будет связано зависимость с а тогда в силу (4) х и у окажутся сложными функциями от По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь

Обращаем внимание читателя на то, что через мы обозначаем «полные» производные от х и у по t, т. е. с учетом и зависимости и от наоборот, означают производные по t лишь постольку, поскольку t входит в функции в качестве одного из двух аргументов.

Подставив эти выражения в формулы (2), найдем выражения производных от у по х через t, и и производные от и по t, и т. д.

Если формулы преобразования не разрешены относительно и у:

то производные вычисляются отсюда по правилам дифференцирования неявных функций. Например, дифференцируя (5) по (причем не только х и у, но и и считается функцией от получим уравнения

из которых найдутся

В том частном случае, когда формулы преобразования разрешены относительно новых переменных:

можно, прежде всего, пользоваться изложенным только что общим методом. Например, дифференцируя формулы (6) по t (причем х, у, и считаем функциями от t), получим

откуда

и, наконец,

Проще, однако, в этом случае поступить так, как ссли бы проделывали обратный переход от переменных и к переменным х, у. Продифференцировав формулы (6) по х (считая у функцией от получим

так что

откуда для получается то же выражение, что и выше.

И здесь мы различаем производные первые означают «полные» производные по х, с учетом и зависимости у от х, а вторые считаются с лишь как с одним из двух аргументов функций

Заметим, что переход от переменных х, у к переменным и по формулам (6) может быть истолкован геометрически как некоторое точечное преобразование плоскости (или ее части): если х, у рассматривать как координаты некоторой точки М плоскости, и - как координаты некоторой точки Р, то преобразование переводит точку М в точку Р. Возьмем затем какую-либо кривую на плоскости, с уравнением этой функциональной зависимости между х и у отвечает некоторая зависимость между t и и: которая также определяет на плоскости некоторую кривую ?. Итак, в рассматриваемом преобразовании кривая переходит в кривую же ?. Если в точке М первой кривой провести касательную с угловым коэффициентом то в соответствующей точке Р вторая кривая будет иметь касательную с угловым коэффициентом который определяется по формуле (7). Таким образом, по координатам точки М на кривой и угловому коэффициенту касательной в М однозначно определяются как координаты соответствующей точки Р на преобразованной кривой , так и угловой коэффициент касательной в Р. Поэтому, если через точку М провести две кривые, касающиеся в этой точке, то преобразованные кривые будут также касаться в соответствующей точке Р. Рассматриваемое точечное преобразование плоскости сохраняет касание ниже пример 5)].