163. Общее определение открытой и замкнутой области.

Назовем «точку» внутренней «точкой» множества (в -мерном «пространстве»), если она принадлежит множеству вместе с некоторой достаточно малой ее окрестностью.

Из утверждения, доказанного в конце предыдущего п°, следует с очевидностью, что безразлично, какого типа окрестности здесь иметь в виду - «параллелепипедальные» или «сферические». Для открытого «прямоугольного параллелепипеда»

каждая его «точка» является внутренней. Действительно, если

то легко найти такое чтобы было

Аналогично, в случае открытой «сферы» радиуса с центром в «точке» каждая принадлежащая ей «точка» также является для нее внутренней. Если взять так, что

и описать вокруг М «сферу» этим радиусом о, то она целиком будет содержаться в исходной «сфере»: лишь только тотчас же

так что «точка» М принадлежит исходной «сфере».

Такое же заключение можно сделать и об открытом симплексе:

Подобного рода множество, целиком состоящее из внутренних точек», будем называть открытой «областью».

Таким образом, открытый «прямоугольный параллелепипед», открытая «сфера», открытый симплекс - служат примерами открытых «областей».

Обобщим теперь понятие точки сгущения [52] на случай множества в n-мерном «пространстве». «Точка» называется точкой сгущения» множества если в каждой ее окрестности (и снова - безразлично, какого типа) содержится хоть одна точка» множества , отличная от

«Точки сгущения» для открытой «области», не принадлежащей ей, называются пограничными «точками» этой «области». Пограничные «точки» в их совокупности образуют «границу области». Открытая «область» вместе с «границей» ее называется замкнутой «областью».

Нетрудно видеть, что для открытого «параллелепипеда» (4) пограничными будут «точки» для которых

причем хоть в одном случае имеет место именно равенство.

Точно так же, для рассмотренной выше открытой «сферы» пограничными будут «точки» М, для которых в точности

Наконец, для открытого симплекса (5) пограничными являются «точки» удовлетворяющие соотношениям:

причем хоть однажды осуществляется равенство.

Таким образом, замкнутый «прямоугольный параллелепипед», замкнутая «сфера» и замкнутый симплекс дают примеры замкнутых «областей».

Впредь, говоря об «области», открытой или замкнутой, мы всегда будем иметь в виду «область» в указанном здесь специальном смысле.

Установим теперь, что замкнутой «области» принадлежат уже все ее «точки» сгущения.

Пусть даны замкнутая «область» и «точка» вне ее. Докажем, что тогда не будет «точкой» сгущения для

Замкнутая «область» получается из некоторой открытой «области» путем присоединения к ней ее «границы» Очевидно, не является «точкой» сгущения для следовательно, можно окружить такой открытой «сферой», чтобы в ней вовсе не содержалось «точек» из Но тогда в ней не может быть и «точек» из ведь, если бы какая-нибудь «точка М из в нее попала, то в ней содержалась бы целиком и некоторая окрестность «точки» и в этой окрестности не было бы ни одной точки из вопреки определению «точки сгущения» и множества как «границы». Итак, в упомянутой «сфере» нет «точек» из что и доказывает наше утверждение.

Вообще «точечное» множество содержащее все свои «точки» сгущения, называют замкнутым. Таким образом, замкнутая «область» есть частный случай замкнутого множества.

Введем еще ряд терминов. Множество «точек» называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором «прямоугольном параллелепипеде».

«Область» называется связной, если любые ее две «точки» можно соединить «ломаной», лежащей всеми своими «точками» в «области». На рис. 96 представлено для иллюстрации несколько связных областей на плоскости.

Рис. 96.

Ограниченная и связная «область» в -мерном «пространстве» (открытая или замкнутая) есть, в некотором смысле, аналог конечного промежутка (соответственно, открытого или замкнутого). Читатель видит, однако, насколько усложняется картина при переходе к -мерным (при и образам. Простым и однотипным промежуткам, границей которых служат всего лишь две точки, здесь противопоставляется огромное многообразие «областей» со сложными «границами».

Все изложенное в последних можно рассматривать как установление лишь некоего геометрического языка; с этим не связано (при никаких реальных геометрических представлений. Однако полезно подчеркнуть, что на деле -мерное арифметическое пространство является лишь первым шагом к тем в высшей степени плодотворным обобщениям понятия пространства, которые лежат в основе многих более высоких частей современного анализа.