210. Примеры.

1) Пусть у связано с х уравнением

Дифференцируя последовательно по х (причем у считаем функцией от получим

затем

и т. д. Из первого уравнения находим

из второго (если подставить найденное значение

2) Дано уравнение

Требуется найти экстремумы определяемой им неявной функции у от х. Имеем здесь

Ввиду (15), для того чтобы было должно выполняться равенство Решая совместно уравнения найдем две пары соответственных значений х и у:

Но в первой точке обращается в нуль и так что мы не можем утверждать, что в ее окрестности наше уравнение определяет у как однозначную функцию от поэтому точку (0, 0) оставляем в стороне.

Во второй точке и к ней приложима теорема II. Чтобы убедиться в наличии экстремума, вычислим при проще всего исходить из (16), полагая там

Так как при то и налицо максимум.

3) Пусть неявная функция z от х, у определяется уравнением

Имеем последовательно

так что

Затем

откуда (если воспользоваться известным уже выражением для

что дает нам

4) Пусть z определяется, как функция от х и у, из уравнения

Предполагая доказать, что

Имеем

откуда и вытекает требуемое.

5) Пусть из уравнения

переменная z определяется как неявная функция от х и у. Предполагая установить, что эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

или

где для краткости положено

Последовательно дифференцируя и по у, получим

и, далее,

Сложив последние три равенства, предварительно умноженные на и придем к требуемому соотношению.

6) Пусть дана система

определяющая у, z, и как функции от х. Имеем

Предполагая определитель

не равным нулю, имеем отсюда

1) Пусть переменные связаны с переменными в, соотношениями

где Якобиан

Упомянутые соотношения определяют как функции от х, у, z. Для вычисления производных этих функций продифференцируем эти соотношения полным образом:

Отсюда определим

Этим, собственно, уже и найдены интересующие нас производные (если учесть указанное выше значение

Предложенные уравнения легко решить относительно :

Это дает возможность вычислить все эти производные и тем проверить найденные результаты.

8) В качестве заключительного примера на дифференцирование неявных функций выведем еще одну формулу, снова подчеркивающую аналогию между якобианом системы функций и производной одной функции.

Пусть дана система уравнений с переменными:

Предполагая якобиан

отличным от нуля, рассмотрим как функции от определяемые этой системой уравнений и, следовательно, обращающие их в тождества. Дифференцируя эти тождества по каждому результаты можем представить в виде

Определитель, составленный из левых частей этих равенств, есть

определитель же, составленный из правых частей, очевидно, представляет собой произведение определителей

[см. 203 (3)]. Отсюда получается формула

являющаяся аналогом формулы (15).

Если уравнения даны в виде, разрешенном относительно

то под рассмотренный случай это подойдет, если положить Так как здесь -1 или 0, смотря по тому, будет ли или то числитель сведется к

и формула примет вид

Этот результат нам уже знаком [203 (4)].